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Schlussrechnen und lineare Funktionen
Lineares Wachstum

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Zwei Beispiele
für lineares Wachstum:

  Wachstum ist dadurch gekennzeichnet, dass die unabhängige Größe die Zeit ist. Wachstumsprozesse nennt man linear, wenn die von der Zeit abhängige Größe in gleichen Zeitabständen um den gleichen absoluten Betrag anwächst (oder abnimmt).

siehe aber auch: Lineare Abhängigkeit
     
Kosten in Abhängigkeit von der Zeit
bei Handytarifen und Telefon-Tarifen
 
Arbeit in Abhängigkeit von der Zeit
bei konstanter Leistung, P = 80 Watt
     
 
     
Zeit (Min)
0
10
20
30
...
60
...
Kosten (€)
25
28
31
34
...
43
...
 
Zeit (s)
0,5
1
2
...
Arbeit (J)
40
80
160
...
     
Lineares Wachstum:

... geschrieben als
Menge geordneter Paare

 

Die beiden voneinander abhängigen Größen bei Handytarifen bilden jeweils ein Paar, das auf folgende Weise geordnet ist: man nennt in dem Paar immer die unabhängige Größe t zuerst und dann die dazu berechnete, abhängige Größe. Beispiel:

Zeit (t) / Kosten (k): {(0/25), (10/28), (20/31), (30/34), ... (60/43) ...}

Den einzelnen (Zahlen)Paaren entsprechen die "Kreuze" auf der obigen linken Geraden. Aber zwischen diesen wenigen Kreuzen (Punkten) liegen noch (unendlich) viele weitere Punkte, die alle dieselbe Abhängigkeit beschreiben. Die Geraden beschreiben vollständiger als die Wertetabellen die Kosten-Zeit-Abhängigkeit. Diese Abhängigkeit lässt sich sich als Paarmenge mit einer Funktionsgleichung wie folgt schreiben:

{(t/k): k = 0,3€ · t + 25€} gelesen:
Menge aller Paare (t/k) für die gilt: k= 0,3€ · t + 25€

     
... geschrieben als
Paarmenge und Gerade
  Diese geordneten Zahlenpaare können als Punkte in ein geeichtes Koordinatensystem eingezeichnet werden. Auf der waagerechten Achse wird die unabhängige Größe und auf der dazu senkrechten Achse wird die abhängige Größe eingetragen. Die Graphen für lineares Wachstum sind Geraden.
     
... geschrieben als
Zuordnung und Funktionsgleichung



 

Natürlich lässt sich die Kosten-Zeit-Abhängigkeit auch als Zuordung oder Funktionsgleichung schreiben:

s --> k, für k= 0,3€ · t + 25€

Für die unabhängige Variable (hier: t) muss die Definitionsmenge und für die abhängige Varible die Wertemege angegeben werden, für die die Funktionsgleichung bzw. die Zuordnung jeweils einen Sinn ergibt.

siehe hierzu insbesondere: Lineare Funktion - Systematisierung
     
Symbolische Schreibweise für unterschiedliches Wachstum
  Wachstumsprozesse lassen sich in symbolischer Form wie folgt schreiben:
B(t) sei der Bestand der beobachteten Größe zum Zeitpunkt t
Dt sei der Zeitabschnitt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Beobachtungszeitpunkten
B(t + Dt) sei der Bestand der Größe zum Zeitpunkt t+Dt
     
Lineares Wachstum
  Für das lineare Wachstum gilt: DB = B(t + Dt) - B(t) = konstant

Wachstumsprozesse bei denen die beobachtete Größe in gleichen Zeitabständen um den gleichen absoluten Betrag anwächst bzw. abnimmt nennt man linear.

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