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Grundbegriffe und Eigenschaften von Funktionen
Umformen von Termen und Gleichungen

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Warum sollen Terme
eigentlich umgeformt werden?

Zunächst: Dazu einige Lösungshinweise zur nebenstehenden Aufgabe

 

Eine Pumpe fördert je Sekunde 2 Liter Wasser aus 8 Meter Tiefe. Welche Arbeit verrichtet sie ?

Was ist gegeben, was ist gefragt? Gegeben sind: die Zeit ( = je 1 Sekunde), die Masse (= 2 Liter Wasser) und die Hubhöhe (= 8 Meter). Gefragt ist die Hubarbeit W.

Die Definitionsgleichung für die Hub-Arbeit W lautet:

W = F · s

Die Definitionsgleichung für die Kraft F lautet:

F = m · a

In die erste Gleichung kann für die Variable F nun der Term m · a eingesetzt werden. Dann erhält man die Gleichung:

W = m · a · s

Die Masse von 2 kg (Wasser) muss gegen die Erdbeschleunigung von 9,81 m/s² um 8 m gehoben werden.

     
Sodann: Verweis auf typische Aufgaben in eurem Schulbuch
 
1
3a + 5a - 4a = ..............
4ab + 3ac - 2bc = ................
4a (a + 3c) = ...................
   
2
a · ( b + c ) = .......................
n · a + n · b = ......................
n · a + m · a = ......................
n · a - m · a = ......................
   
3
Schreibe als Term mit Variablen: "das Produkt dreier Zahlen" oder "addiere 7 zum Doppelten einer Zahl".
   
4
Beweise, dass die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen stets durch 3 teilbar ist.
   
5
(a + b) · ( c + d ) = .......................
(a + b)² = ......................
(a - b)² = ......................
(a - b) · ( c - d ) = .......................
   
6
a² + 2ab + b² = ......................
a² - b² = ......................
   
7
Schreibe als Term mit Variablen:
  • die Summe dreier Zahlen zum Quadrat oder
  • addiere 7 zum Quadrat einer Zahl.
     

Warum sollen u.a. quadratische Gleichungen eigentlich (äquivalent) umgeformt werden?

Zunächst: Dazu wieder einige Hinweise zum nebenstehenden Problem

 

 

Von einer Parabel-Brücke will man die Schnittpunkte mit Straße kennen, um sie dort zu verankern. Hier werden die im Bogen aufgenommenen Kräfte in den Boden abgeleitet.

Kennt ihr einige Punkte eines Parabel-Brückenbogens, so könnt ihr experimentell mit Excel oder auch Derive die Rechenvorschrift für alle Punkte des Bogens finden.
Legt ihr das Koordinatensystem des Bogens so geschickt an, dass die x-Achse auf der Erdoberfläche verläuft, dann entsprechen die Auflagepunkte den "Schnittpunkten der Parabel mit x-Achse". An diesen Stellen ist der y-Wert Null. Setzt ihr in der quadratischen Funktionsgleichung daher y gleich Null, so erhaltet ihr eine quadratische Gleichung der Form:

a x² + bx + c = 0 .... oder.... x² + px + q = 0

Diese Gleichung müsst ihr nun so umzuformen, dass ihr ablesen könnt, welche Zahlen für x eingesetzt, die Gleichung wahr machen. Denn: Diese Zahlen liefern die Auflagepunkte.

     

Sodann: Verweis auf typische Aufgaben in eurem Schulbuch

 

 
8
n · x - m · x = c
a · x + b · x = c
n · x = m · x + a
n · x + a = m · x +b
   
9
3x² - 9x + 6 = 0
16 - 2x - 2x² = 0
(x- 3)(x + 4) = 0 ........ usw.
   
10
x² + 2ax + b² = 0
ax² - bx = 0
x² + px + q = 0
a x² + bx + c = 0 .......usw.
     
 
     
Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:
mathe online
Kurzbeschreibung des Angebotes mathe-online
 

Links zu empfehlenswerten Übungen im Internet, die zum hier besprochenen Thema passen.

Strukturen erkennen 1, Abkürzungen verwenden; Strukturen erkennen 2, formale Eigenschaften von Termen; Strukturen erkennen 3, numerische Eigenschaften von Termen.
Äquivalenzumformungen; Quadratische Gleichungen 1 (Beweis der kleinen Lösungsformel); Quadratische Gleichungen 2 (Drei Lösungsmethoden); Graphische Darstellung der Äquivalenz.

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