am Beispiel
des realen Problems

Stunden- bzw. Unterrichtsverlauf

1. UStd:
Diskussionen zum realen Problem sowie Wahrnehmung der Sachinformationen zum realen Problem
(zunächst in der Klasse und dann in spontan gebildeten Kleingruppen)

2. UStd:
Klärung von Fragen, die sich bei diesen Diskussionen zum realen Problem ergeben haben;
Sammlung der Fragen, die Schülerinnen und Schüler bearbeiten möchten;
Entscheidung der Schülerinnen und Schüler für die Bearbeitung eines Fragenbereiches;
Bildung von "interessengleichen" Kleingruppen auf der Basis der Entscheidungen

3. bis 6. UStd:
Mathematische Modellierungsarbeiten an den selbst gewählten Fragen in "interessengleichen" Kleingruppen;
sachangemessene und kontextbezogene Interpretation der Ergebnisse der mathematischen Modellierung;
Erstellung einer Präsentation

7. und 8. UStd:
Präsentation der Kleingruppen-Ergebnisse in der Klasse und Diskussion der Ergebnisse im Sachzusammenhang des realen Problems

9. und 10. UStd:
Wiederholungen zur Systematisierung der dynamischen Modellierung und der dabei genutzten Mathematik
sowie Gegenüberstellung von funktionaler und dynamischer Modellierung

11. und weitere UStd:
Weitere Anwendungen der dynamischen Modellierung in anderen Wirklichkeits-Kontexten

Die Lehrperson führt in eine Diskussion des realen Problems ein. Dabei verweist sie die Schülerinnen und Schüler auch auf die aufbereiteten Sachinformationen zu diesem realen Problem. Sodann erteilt sie folgende Arbeitsaufträge:

1. Setzt die Diskussion in spontan gebildeten Kleingruppen fort, notiert das für euch Wichtige. Lasst euch in euren Diskussionen unterstützen durch:
   a) eine mögliche Bild-Diskussionen und durch "Ausdrücke von Verzweifelung und Frust"
   b) einige "Blicke" auf das komplexe Problem von zukünftiger Arbeit
2. Legt eine Projektmappe an, in der ihr alle benutzen "Arbeitsblätter" abheftet und alle eure weiteren Ergebnisse aufschreibt. Notiert jetzt zunächst auch, was euch insbesondere betroffen macht. Schreibt aber auch auf, was euch gefallen und nicht gefallen hat sowie das, was euch Schwierigkeiten im Verständnis bereitet hat.

Die Seiten (Bilddiskussion und Blicke auf...) können als "Arbeitsblätter" ausgedruckt werden. Jugendliche können dann das für sie Wichtige unterstreichen oder hervorheben. Die Seiten können aber auch am Computer gelesen werden. Dann erfolgen die Notizen in der Projektmappe oder in den eigenständig ausgedruckten Seiten. Auf diese Weise können und sollen die persönlichen Interessen zur Bearbeitung einer bestimmten Frage geweckt werden.
Diese Eingangdiskussion sollte in jedem Fall stattfinden, damit erstens die späteren mathematischen Modellierungsarbeiten im Problemkontext interpretiert und zweitens auch die Diskussionen nach den Kleingruppen-Präsentationen durch die Jugendlichen in einem Problemzusammenhang geführt werden können.

Die Wiederholungen zur Systematisierung dynamischer Modellierungen erfolgen erst in der neunten Unterrichtsstunde. Das ist für Mathe-Lehrpersonen ungewohnt !!! Aber: Die Systematisierungen können dann auf den zuvor selbstregulierten Modellierungen aufbauen. Vor einer Systematisierung haben dann die Jugendlichen bereits die Erfahrung gemacht, dass sowohl funktionale als auch dynamische Modellierungsformen einen Zweck haben: Alle beide dienen dem Erkenntnisgewinn in realen Zusammenhängen, der handlungsleitende (emanzipatorische) Ziele verfolgt.

In den Kleingruppen, die sich spontan in der ersten Unterrichtsstunde gebildet haben, wird die begonnene Diskussion für etwa 25 Minuten fortgesetzt, etwa mit dem Arbeitsauftrag:

• Diskutiert miteinander, welche Fragen sich bei diesem realen Problem ergeben und schreibt dann die Fragen auf, die euch ganz persönlich interessieren. Lasst euch unterstützen durch die Seite: Wie verändert sich die Erwerbsarbeit? - Hin zu solidarischen Arbeitsmodellen und Einstellungen dazu?

Die Lehrperson bündelt die Fragen zu Bereichen, bereitet die Entscheidung der Jugendlichen für die Arbeit an einem dieser Fragebereiche vor und organisiert auf dieser Basis quasi "interessengleiche" Kleingruppen. Möglich ist aber auch eine Binnendifferenzierung nach Leistung.

Aber die Lehrperson möchte in diesem Unterrichtsverlauf erreichen, dass mindestens eine Kleingruppe arbeitet an:

• Konstruktionen und Simulationen zu "solidarischen" Modellen von
  bezahlter neben unbezahlter Arbeit

Es können aber auch weitere Kleingruppen - sogar mit unterschiedlichen Arbeitsaufträgen - zur dynamischen Modellierung gebildet werden. Aber die Anforderungen sind unterschiedlich schwer; die letzte ist sogar sehr schwer!
MIndestens eine Kleingruppe sollte aber an einer dynamischen Modellierung arbeiten, denn diese Arbeit ist später die Grundlage für Systematisierungsierungen zur dynamischen Modellierung. Hier ist also Beratungsaufwand durch die Lehrperson notwendig. Aber es ist wahrscheinlich möglich, den Jugendlichen ab einer 9. Klasse verständlich zu machen,

• dass mindestens eine dynamischen Modellierung durchgeführt werden sollte (zur ersten gibt es eine mathematische Hilfe),
• dass aber auch mindestens eine funktionale und statistische Modellierung vorkommen sollte
  Gruppe1 und/oder Gruppe2 in der Klassenstufe 9 und 10 sowie
  Gruppe3 und/oder Gruppe4 ab der Klassenstufe 10 und
• dass in diesem Kontext auch eine Befragung zu Einstellungen zu solidarischen Arbeitsmodellen sinnvoll ist.

Mindestens eine funktionale und statistische Modellierung sollte deshalb vorkommen, da nur so in der später folgenden Systematierungsphase die unterschiedlichen Bedeutungen der funktionalen, statistischen und dynamischen Modellierungen gegenübergestellt werden können.

1. Arbeitet in den nächsten vier Mathe-Stunden und auch Zuhause selbstreguliert (eigenaktiv, selbstständig, selbstorganisiert und selbstverantwortet) an den Fragen, die ihr zuvor ausgewählt habt. Für euch passende Anforderungen findet ihr auf den Seiten:
   a) Analysiert die Veränderungen der (sozialpflichtigen) Erwerbsarbeit und seine Folgen?
   b) Konstruiert und simuliert "solidarische" Modelle:
   bezahlte neben unbezahlter Arbeit?
   c) Gestaltet eine Befragung zu Einstellungen gegenüber solidarischen Arbeitsmodellen
   Auf diesen Seiten findet ihr auch mathematische Hilfen (in der rechten Spalte der Seite) und Hilfen zum Sachverhalt (eingebaut in die Anforderungen).
2. Ich werde euch bei eurer Arbeit beobachten (und ggf. bewerten, wie ihr euch in euren Kleingruppen gegenseitig helft und wie ihr miteinander kommuniziert und kooperiert). Wenn ihr aber nach einer eingehenden Beratung in eurer Kleingruppe mit eurer Arbeit nicht mehr weiter kommt, so berate ich euch auf Anfrage hin.
3. Stellt eure Modellierungsergebnisse (Arbeitsergebnisse) in euren Projektmappen dar. Nutzt dabei die euch bisher bekannte Mathe, (er)findet aber auch neue hinzu.
4. Interpretiert eure Ergebnisse sachangemessen im Kontext des gesellschaftlich, bedeutungsvollen Problems einer (notwendigen?)
   "Neuverteilung von Arbeit und Einkommen durch neue Solidaritäten".
5. Erstellt in eurer Kleingruppe eine Präsentation sowohl für die Modellierungsergebnisse als auch für die Interpretation. Hilfen findet ihr unter "Anregungen zur Präsentation der Arbeitsergebnisse" auf der Eingangsseite des realen Problems.

• dass Jugendliche ihre Fragen mit der bis dahin bekannten Mathe sowie der selbstständig hinzu erfundenen Mathe mathematisch modellieren können,
• dass sie ihre Arbeit selbst organisieren und selbst verantworten (begründen) können,
• dass sie eine ansprechende Präsentation erarbeiten und dann auch halten können (eine Präsentation, die ggf. auch in der Klasse ausgehangen werden kann),
• dass sie Kommunikations- und Kooperationsregeln einhalten können (Anmerkung: das ist eine Grundlage der Teamfähigkeit).

• zu Analysen zur Veränderung des Arbeitsmarktes und
• zur Konstruktion und Simulation von dynamischen Zusammenhängen zwischen Wirtschaftswachtum und Arbeitsplätzen

1. Jede Kleingruppe stellt ihre Arbeitsergebnisse vor der Klasse so vor, dass alle anderen in der Klasse sie auch verstehen und nachvollziehen können. Also: Lasst immer genügend Zeit, damit die Anderen sich auch Notizen in ihrer Projektmappe machen können. Hetzt nicht durch euren Vortrag.
2. (Ggf.: Ich habe vor, die Präsentation zu bewerten.)
3. Jede Kleingruppe beleuchtet in ihrem Vortrag das reale Problem "Arbeit für alle!?!" unter einem anderen Gesichtspunkt. Alle diese hängen aber, wie wir in der Eingangsdiskussion des Problems bereits festgestellt haben, irgendwie miteinander zusammen. Und genau das wollen wir gemeinsam diskutieren, nachdem alle Vorträge gehalten sind. So wollen wir erreichen, dass es nicht bei der Summe (Addition) der Einzelbeiträge bleibt, sondern die Diskussion ein neues Ganzes erwirkt.
4. In einem abschließenden Gespräch wollen wir auch noch klären, welchen Wert eine arbeitsteilige Arbeit innerhalb eines Teams hat.

Auch das Präsentieren-Können ist eine wichtige prozessorientierte (allgemeine) Kompetenz.
Die Jugendlichen sollen/sollten durch die Gesamtheit der Präsentationen zur Erkenntnis von Zusammenhängen gelangen, deren Bewertungen für ihr eigenes gesellschaftliches Handeln bedeutungsvoll sein können (emanzipatorische Kompetenzen!). Sie können die mathematischen Modellierungen als eine Erkenntnishilfe zur Bewertung des Problems erleben. Mathe bekommt einen anderen Sinn als nur und lediglich ihren Selbstzweck.
Alle Kleingruppen können bei den Präsentationen erleben, wie die Modellierung ihres Teilbereiches in eine vollständigere Modellierung des realen Problems eingebettet ist. Die Jugendlichen können so erleben, dass arbeitsteilige Teamarbeit produktiv ist und keine „Zeit“ verschwendet.

Nach diesen 3 Wochen (bei drei Mathestunden pro Woche) sollte in der Regel keine Klassenarbeit geschrieben werden. Zu Beginn der projektorientierten Unterrichtsphase sollte mit den Jugendlichen vereinbart werden, was zur Leistungsbewertung am Ende herangezogen wird (z.B. die Projektmappe, die Präsentation, die Beobachtungen zum Arbeits- und Sozialverhalten ...). Soll eine Klassenarbeit geschrieben werden, dann bieten sich aber nur Aufgaben an, die auch das zuvor Gelernte abprüfen. Solche Aufgaben sind zu finden unter:

• Erörterung möglicher Lösungen zu realen Problemen und (Test)Aufgaben zur kompetenzorientierten Diagnose
  (Anmerkung: die Anzahl der Aufgaben ist noch gering, wie wird aber noch erweitert.)

Zur Wiederholung der dynamischen Modellierung nutzt die Mathe-Lehrerin oder der Mathe-Lehrer die Präsentation der Gruppe, die sich zum Beispiel mit der Konstruktion und Simulation von dynamischen Zusammenhängen zwischen Wirtschaftswachtum und Arbeitsplätzen beschäftigt hat. Sie lenkt wiederholend den Blick auf:

• die systemische Vernetzung von Bruttosozialprodukt einerseits und Arbeitsplätzen andererseits,
• den notwendigen Beschreibungsbegriff: System,
• die Größen "Bruttosozialprodukt" und "Arbeitsplätze", die den Zustand des betrachteten Systems beschreiben sollen,
• die nowendigen Beschreibungsbegriffe: Zustandsgröße sowie Anfangsgröße,
• die Größen "Zuwachs_Arbeitsplätze" und "Zunahme_BIP" (Bruttosozialprodukt), die die Veränderungen der betrachteten Zustandsgrößen beschreiben sollen,
• den notwendigen Beschreibungbegriff: Flussgröße,
• die Konstanten oder Parameter (Wachstumsraten, Kopplungsfaktor, Verzögerungsfaktor), die auf die Flussgrößen wirken können und
• den notwendigen Beschreibungsbegriff "dynamisches System": Es ist ein zeitabhängiges System, dass sich in der Zeit oder in einem Zeittakt (Delta t) verändert.

Nach nochmaliger (also wiederholter) Präzisierung der vorstehenden Grundbegriffe verdeutlicht die Mathe-Lehrperson in jedem Fall noch einmal die:

• Entscheidungsnotwendigkeit für die Betrachtung der beiden u.a. ausgewählten dynamischen Zusammenhänge (von Bruttosozialprodukt und Arbeitsplätzen), also für Modell1 und Modell2,
• Darstellung der dynamischen Zusammenhänge in Flussdiagrammen,
• Beschreibung der dynamischen Veränderung im gewählten Modell (also der Veränderung der Zustandsgrößen im Zeittakt: Delta t) in Form von Modellgleichungen,
• Programmierung der Modellgleichungen in zwei Excel-Mappen ExcelDateien/Mappe1168a.htm (nur zur Ansicht) und ExcelDateien/Mappe1168b.htm (nur zur Ansicht) zum Zwecke der Simulation und
• Notwendigkeit von etwa 10 bis 20 Simulationsläufen zur Beschreibung der Systemverhalten der gewählten Modelle.

Sodann lässt die Lehrperson die Kleingruppe(n), die an diesem Problem gearbeitet hat (haben), den untersuchten dynamischen Zusammenhang von BIP und Arbeitsplätzen im Kontext des realen Problems "Arbeit für alle!?!" noch einmal interpretierend darstellen. Zum Beispiel:

Für das Modell 1 ist allgemein festzustellen, dass die Zahl der Arbeitsplätze sinkt, wenn das Bruttosozialprodukt abnimmt. Im Besonderen gilt aber: Sinkt die Wachstumsrate erheblich unter 2%, so sinkt auch die Zahl der Arbeitsplätze erheblich.
Das Systemverhalten des Modells 2 ist im Groben genauso wie zuvor. Aber: Die Abnahme von Arbeitsplätzen reagiert nun schnell und radikal auf ein verlangsamtes Wirtschaftswachstum.
Und genau dies ist zur Zeit das Problem in allen Industrieländern.
Wir wissen, dass es wichtig wäre, weitere dynamische Modellierungen zu "solidarischen Arbeitsmodellen" zu untersuchen, wenn es Arbeit für alle geben soll.

Eine Wiederholung zur Systematisierung der dynamischen Modellierung ist immer wieder notwendig. Denn dynamische Modellierungen werden zur Zeit noch kaum im Mathe-Unterricht vermittelt.

In dieser Wiederholungsphase zur dynamischen Wiederholung wird aber angenommen, dass die Schülerinnen und Schüler bereits einführend mit der dynamischen Modellierung vertraut gemacht worden sind. Zum Beispiel bei der Anwendung der dynamischen Modellierung in einer Anwendungsphase des "herkömmlichen" Mathe-Unterrichts in einer (9). 10. oder/und 11. Klasse am realen Problem "AIDS und Grippen, SARS und andere "moderne" Epidemien".

Während der Interpretationen zum Systemverhalten der Modelle 1 und 2 sollten die Flussdiagramme für alle sichtbar sein. Entweder erhalten alle Schülerinnen und Schüler der Klasse eine Fotokopie der Modelle oder die Modelle werden auf einer "Tapete" aufgezeichnet und in der Klasse ausgehangen.
Wichtig ist es festzustellen, dass die Modelle immer abhängig vom Zweck der Untersuchung sind. Es gibt also immer alternative Modelle. Im obigen Fall werden zwei Modelle untersucht, die aber aufeinander aufbauen.

Und: Zur Untersuchung dynamischer Systeme ist immer ein Computer-Werkzeug notwendig. Es gibt verschiedenartige Werkzeuge. Siehe hierzu: Werkzeuge zur Modellbildung: Beispiele zur selbstständigen Arbeit .
Das Werkzeug Excel ist aber ebenfalls geeignet, wenn die Modelle nicht zu komplex sind. Excel hat den Vorteil, dass es weit verbreitet und verfügbar ist. Siehe hierzu: Crash-Kurse: Einführung in die Nutzung von Excel.

Im Leistungskurs Mathe in Klasse 11 oder 12 kann ggf. auch der Zusammenhang des Systems der Modellgleichungen mit einem Differenzengleichungssystem oder einem Differentialgleichungssystem hergestellt werden.
In jedem Fall sollte allen Jugendlichen klar werden, dass wir es bei einer dynamischen Modellierung mit einer diskreten Mathematik zu tun haben. Diskret deshalb, weil alle Berechnungen Schritt für Schritt erfolgen und aufeinander aufbauen. Es gibt in der Regel keine geschlossenen algebraischen Ausdrücke (Funktionsterme) für die Zustandsgrößen.

Zur Gegenüberstellung von dynamischer und funktionaler Modellierung lässt die Mathe-Lehrerin oder der Mathe-Lehrer auch die Interpretationen der Gruppen wiederholen, die sich zum Beispiel mit funktionalen Analysen zur Veränderung des Arbeitsmarktes beschäftigt haben. Sie macht unter anderem die folgende Interpretation für alle Jugendlichen der Klasse als Kopie oder als Aushang verfügbar. Hier ein Auszug:

An den Punkt-Linien-Diagrammen zur Veränderung des Arbeitsmarktes erkennen wir, wie die Arbeitslosenzahl immer wieder schwankt.
Trotz dieser Schwankungen zeigen die eingezeichneten linearen Trendlinien, dass die Arbeitslosenzahl insgesamt zunimmt. Und das auch, obgleich die Zahl der Erwerbstätigen ebenfalls steigt.

Vergleicht man den Anstieg der linearen Approximation bei der Zahl der Arbeitslosen von 1949 bis 1991

y = 25 x + 521

mit dem Anstieg der linearen Approximation bei der Zahl der Arbeitslosen von 1991 bis heute

y = 51 x + 3243

so ist der Anstieg in den Jahren 1991 bis heute doppelt so groß. Und das ist eine bedrückende Vision: die Zahl der Arbeitslosen steigt immer weiter. Und: Sie wird wahrscheinlich weiter steigen ....

Auf der Grundlage der Interpretationen zur dynamischen und funktionalen Modellierung erarbeitet die Mathe-Lehrerin oder der Mathe-Lehrer mit der Klasse folgende Feststellungen:

1. Dynamische Modellierungen führen zu Beschreibungen des Systemverhaltens von zweckbedingt, untersuchten Modellen und erlauben Aussagen darüber, wie eine Veränderung der "Stellschrauben" (Parameter) im System wirkt: in welcher Richtung ihre Veränderung verheerende oder günstige Auswirkungen hat. Erkenntnisse dieser Art, können dann handlungsleitend sein.
2. Funktionale Modellierungen führen zu Beschreibungen von Verläufen in der Vergangenheit und versuchen über Approximationen mit Trendlinien zu Prognosen für die nahe Zukunft zu gelangen. Prognosen sind Immer unsicher! Erkenntnisse dieser Art sagen aber, wie es war und wie es ggf. sein wird, wenn sich die Bedingungen nicht ändern.

Die Analysen zur Veränderung des Arbeitsmarktes ergeben neben der auszugsweise dargestellten Interpretation viele weitere, die auf der Seite ma1176.htm anzusehen sind. Hier geht es aber um einen Vergleich der funktionalen und dynamischen Modellierung.
Auch bei der funktionalen Modellierung wird angenommen, dass die Jugendlichen bereits einige funktionale Modellierungen durchgeführt haben. Falls NEIN, so wird auf die möglichen Beispiele auf der Seite "Darstellungen von projektorientiertem Unterricht mit realen Problemen" verwiesen.
Bei der funktionalen Modellierung ist festzustellen, dass auf der Grundlage von Approximationen (ggf. durch lineare, quadratische oder exponentielle Trendlinien) Prognosen für die nahe Zukunft versucht werden. Dabei ist es wichtig, dass die Jugendlichen sich auch auseinander setzen mit:

• Modellierungen zur Unsicherheit einer Prognose
• Blicken in Zukunft ...: Approximation, Extrapolation, Prognose

11. und weitere Unterrichtsstunden:

Übungen und Anwendungen
zur dynamischen Modellierung
in anderen
Wirklichkeits-Kontexten

Eine Übersicht über die Bündelung aller mathematischen Hilfen zur dynamischen Modellierung siehe:

• Umgang mit Komplexität: Netze und dynamische Systeme

• die Erörterung von Lösungen zur Anwendung von Methoden der qualitativen Modellierung von dynamischen Systemen
  (Das Angebot auf dieser Seite wird mit der Zeit noch ausgebaut.)
• Testaufgaben zur qualitativen Modellierung von dynamischen Systemen
  (Das Angebot auf dieser Seite wird mit der Zeit noch ausgebaut. Die Aufgaben sind auch in Klassenarbeiten nutzbar.)
• Projektideen mit realen Problemen
  (Zur Zeit sind es vier Projektideen, aber auch das Angebot auf dieser Seite wird ausgebaut.)