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Projektorientierte Einführung in die dynamische Modellierung

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am Beispiel
des realen Problems

"Wachstum, Wachstum: Boom ohne Grenzen?"

in einer
(8.), 9. bis 11. Klasse

Hier geht es gezielt darum, wie im Kontext eines realen Problems in die dynamische Modellierung eingeführt werden kann. Vorausgesetzt wird dabei lediglich, dass die Lernumgebung bereits bekannt ist und nicht zum ersten Mal im Unterricht genutzt wird.

 


Stunden- bzw. Unterrichtsablauf

1. UStd:
Diskussionen zum realen Problem sowie Wahrnehmung der Sachinformationen zum realen Problem

2. UStd:
Entwicklung von Fragen durch Diskussion des realen Problems;
Noch 2. UStd:
Sammlung der Fragen, die Schülerinnen und Schüler bearbeiten möchten; Entscheidung der Jugendlichen unter Beratung der Lehrperson für die Arbeit an einem Fragenbereich; Bildung von "interessengleichen" Kleingruppen auf der Basis der Entscheidungen
3. bis 6. UStd:
Mathematische Modellierungsarbeiten an den gewählten Fragen in "interessengleichen" Kleingruppen; sachangemessene und kontextbezogene Interpretation der Ergebnisse der mathematischen Modellierung; Erstellung einer Präsentation
7. und 8. UStd:
Präsentation der Kleingruppen-Ergebnisse in der Klasse und Diskussion der Ergebnisse im Sachzusammenhang des realen Problems

9. und 10. UStd:
Systematisierung der dynamischen Modellierung und der dabei genutzten Mathematik sowie Gegenüberstellung von funktionaler und dynamischer Modellierung
11. und weitere UStd:
Übungen und Anwendungen der dynamischen Modellierung in anderen Wirklichkeits-Kontexten


 
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1. Unterrichtsstunde:

Diskussionen
zum realen Problem
sowie Wahrnehmung der Sachinformationen
zum realen Problem
(zunächst in der Klasse
und dann in spontan
gebildeten Kleingruppen)
 
     
Einführungsgespräch
und
Arbeitsauträge
  Die Lehrkraft führt in eine Diskussion des realen Problems ein. Dabei verweist sie die Jugendlichen auch auf die aufbereiteten Sachinformationen zu diesem realen Problem. Sodann erteilt sie folgende Arbeitsaufträge:
  1. Setzt die Diskussion in spontan gebildeten Kleingruppen fort, notiert das für euch Wichtige. Lasst euch in euren Diskussionen unterstützen durch:
    a) eine mögliche Bild-Diskussionen oder/und durch die Geschichte zum Turmbau zu Babel

    b) einen Aufriss der komplexen, rückgekoppelten Zusammenhänge des Wachsens von Wirtschaften
  2. Legt eine Projektmappe (ein Portfolio) an, in der (dem) ihr alle benutzen "Arbeitsblätter" abheftet und alle eure weiteren Ergebnisse aufschreibt. Notiert jetzt zunächst auch, was euch insbesondere betroffen macht. Schreibt aber auch auf, was euch gefallen und nicht gefallen hat sowie das, was euch Schwierigkeiten im Verständnis bereitet hat.
     
Didaktische, methodische und organisatorische Anregungen:
 

Die Seiten (Bilddiskussion und Blicke auf...) können als "Arbeitsblätter" ausgedruckt werden. Jugendliche können dann das für sie Wichtige unterstreichen oder hervorheben. Die Seiten können aber auch am Computer gelesen werden. Dann erfolgen die Notizen in der Projektmappe oder in den eigenständig ausgedruckten Seiten. Auf diese Weise können und sollen die persönlichen Interessen zur Bearbeitung einer bestimmten Frage geweckt werden.
Diese Eingangdiskussion sollte in jedem Fall stattfinden, damit erstens die späteren mathematischen Modellierungsarbeiten im Problemkontext interpretiert werden können und zweitens auch die Diskussionen in der Klasse nach den Kleingruppen-Präsentationen durch die Jugendlichen in einem Problemzusammenhang geführt werden können.

Die Systematisierung dynamischer Modellierungen erfolgt erst in der neunten Unterrichtsstunde. Das ist für Mathematiklehrerinnen und -lehrer ungewohnt!!! Aber: Die Systematisierungen können dann auf den zuvor selbstregulierten Modellierungen aufbauen. Vor einer Systematisierung haben dann die Jugendlichen bereits die Erfahrung gemacht, dass dynamische Modellierungsformen neben funktionalen einen Zweck haben: Sie dienen dem Erkenntnisgewinn in realen Zusammenhängen, der handlungsleitende (emanzipatorische) Ziele verfolgt.

 
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2. Unterrichtsstunde:

Entwicklung von Fragen durch Diskussion des realen Problems

 
     
Arbeitsauftrag / Arbeitsauträge
 

In den Kleingruppen, die sich spontan in der ersten Unterrichtsstunde gebildet haben, wird die begonnene Diskussion für etwa 25 Minuten fortgesetzt, etwa mit dem Arbeitsauftrag:

  1. Diskutiert miteinander, welche Fragen sich bei diesem realen Problem ergeben und schreibt dann die Fragen auf, die euch ganz persönlich interessieren. Lasst euch unterstützen durch die Seite: Was wächst da eigentlich? Warum muss die Wirtschaft ständig wachsen? dynamisch? grenzenlos? ... ? ... ?
     
Didaktische, methodische und organisatorische Anregungen:
  Auch diese Seite kann als "Arbeitsbogen" ausgedruckt und genutzt werden. Die Seite kann aber auch am Computer gelesen werden. Dann müssen die persönlich interessierenden Fragen in der Projektmappe notiert werden.
 
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Noch 2. Unterrichtsstunde:

Sammlung der Fragen, die Schülerinnen und Schüler bearbeiten möchten

Entscheidung der Jugendlichen unter Beratung der Lehrperson für die Arbeit an einem Fragenbereich

Bildung von "interessengleichen" Kleingruppen auf der Basis der Entscheidungen

 
     
Didaktische, methodische und organisatorische Anregungen:
 

Die Lehrkraft bündelt die Fragen zu Bereichen, bereitet die Entscheidung der Jugendlichen für die Arbeit an einem der Fragebereiche vor und organisiert auf dieser Basis quasi "interessengleiche" Kleingruppen. Möglich ist auch eine Binnendifferenzierung nach Leistung.

Durch Beratung wird die Lehrperson erreichen wollen, dass einige Kleingruppen am folgenden Aufgabenbereich arbeiten, denn sie will später die dynamische Modellbildung systematisieren:

Zur dynamischen Modellierung können sogar Kleingruppen mit den folgenden unterschiedlich schweren Arbeitsaufträgen gebildet werden. Der zuletzt genannte Arbeitsauftrag ist die schwerste.

Hier mögliche Lösungen dazu:

Diese Lösungen zur dynamischen Modellierung zeigen, was ggf. mathematisch zu erwarten ist und wie die Ergebnisse interpretiert werden können.
Mindestens eine Kleingruppe sollte aber auch am folgenden Aufgabenbereich arbeiten.

Nur so kann in der später folgenden Systematierungsphase der Unterschied zwischen dynamischer und funktionaler Modellierung herausgearbeitet werden. Es ist sicher auch hilfreich, wenn die Lehrkraft sich irgendeine Lösung zur funktionalen Modellierung ansieht.

 
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3. bis 6. Unterrichtsstunde:

Mathematische Modellierungsarbeiten an den selbst gewählten Fragen
in "interessengleichen" Kleingruppen

Sachangemessene und kontextbezogene Interpretation der Ergebnisse der mathematischen Modellierung

Erstellung einer Präsentation

 
     
Arbeitsauftrag / Arbeitsauträge
  Die "interessengleichen" Kleingruppen erhalten nun die folgenden Arbeitsaufträge:
  1. Arbeitet in den nächsten vier Mathe-Stunden und auch Zuhause selbstreguliert (d.h. selbstständig, selbstorganisiert und selbstverantwortet) an den Fragen, die wir zuvor ausgewählt haben. Für euch passende Anforderungen findet ihr unter:
    Gruppe(n) 1: Dynamik des Wachstums von Industriekapital
    Gruppe(n) 2 : Dynamische Wechselwirkungen zwischen Konsum und Investition
    Gruppe(n) 3: Dynamische Veränderung des Volkseinkommens in Abhängigkeit von Konsum und Investition

    Gruppe(n) 4:
    Analyse der wirtschaftlichen Prosperität (Entwicklungen) früher und heute
    Auf diesen Seiten findet ihr auch mathematische Hilfen (in der rechten Spalte der Seite) und Hilfen zum Sachverhalt (eingebaut in die Anforderungen).
  2. Ich werde euch bei eurer Arbeit beobachten (und ggf. bewerten, wie ihr euch in euren Kleingruppen gegenseitig helft und wie ihr miteinander kommuniziert und kooperiert). Wenn ihr aber nach einer eingehenden Beratung in eurer Kleingruppe mit eurer Arbeit nicht mehr weiter kommt, so berate ich euch auf Anfrage hin.
  3. Stellt eure Modellierungsergebnisse (Arbeitsergebnisse) in euren Projektmappen dar. Nutzt dabei die euch bisher bekannte Mathe, (er)findet aber auch neue hinzu.
  4. Interpretiert eure Ergebnisse sachangemessen im Kontext des ökonomisch bedeutungsvollen Problems
  5. Erstellt in eurer Kleingruppe eine Präsentation sowohl für die Modellierungsergebnisse als auch für die Interpretation. Hilfen findet ihr unter "Anregungen zur Präsentation der Arbeitsergebnisse" auf der Eingangsseite des realen Problems.
     
Didaktische, methodische und organisatorische Anregungen:
  Wiederum können die Seiten (../ma0227.htm) und (../ma0228.htm) mit den Anforderungen ausgedruckt werden. Sie können auch nach Word exportiert werden und auf die eigenen Anliegen oder auf die der Kleingruppen hin umgestaltet und neu konfiguriert werden. Es ist sicher hilfreich, wenn die zuvor beschriebenen Arbeitsaufträge kleingruppenbezogen formuliert werden und dann an die Jugendlichen weitergegeben werden.
Sobald aber während der Modellierungsarbeiten bestimmte Datenbestände oder Informationen gebraucht oder mathematische Hilfen genutzt werden sollen, ist eine Arbeit am Computer notwendig. Sei denn, auch diese Seiten werden ausgedruckt zur Verfügung gestellt.
Die Lehrkraft sollte sich unbedingt alle anklickbaren Sachinformationen und mathematischen Hilfen zum realen Problem ansehen. Das ist wichtig, um den Kleingruppen, die irgendwo stecken bleiben, Tipps zur selbstregulierten Arbeit geben zu können.
Bei der modellierenden Arbeit werden die Kleingruppen von der Lehrperson „gecoacht“. Es wird ihnen dabei geholfen allgemeine (prozessorientierte) mathematische Kompetenzen (anzubahnen oder) zu erwerben d.h. u.a.:
  • dass Jugendliche ihre Fragen mit der bis dahin bekannten Mathe sowie der selbstständig hinzu erfundenen Mathe mathematisch modellieren können,
  • dass sie ihre Arbeit selbst organisieren und selbst verantworten (begründen) können,
  • dass sie eine ansprechende Präsentation erarbeiten und dann auch halten können (eine Präsentation, die ggf. auch in der Klasse ausgehangen werden kann),
  • dass sie Kommunikations- und Kooperationsregeln einhalten können (Anmerkung: das ist eine Grundlage der Teamfähigkeit).
Werden die prozessorientieren (oder allgemeinen) mathematischen Kompetenzen bewertet, so sollten die Jugendlichen dies vor ihrer Arbeit wissen.
An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass prozessorientierte Kompetenzen nur in einem komplexeren Arbeits- oder Lern-Prozess angebahnt und gelernt werden können. Diese Kompetenzen lassen sich kaum didaktisch kleinschreiben.
Wahrscheinlich muss aber die Lehrperson schon ab dem Ende der zweiten selbstregulierten Arbeitsstunde immer wieder darauf hinweisen, dass eine Präsentation vor der Klasse zu halten ist. Und dass die Arbeiten nach der vierten selbstregulierten Arbeitsstunde beendet sein müssen.
Soll diese Präsentation von der Lehrperson bewertet werden, so muss dies vorher mitgeteilt werden.
Während der Modellierungsphase übernimmt die Mathematiklehrerin bwz. der Mathematiklehrer in Sachfragen in der Regel die Rolle eines kompetenten Laien.
 
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7. und 8. Unterrichtsstunde:

Präsentation der Kleingruppen-Ergebnisse in der Klasse und Diskussion der Ergebnisse im Sachzusammenhang des realen Problems
 
     
Arbeitsauftrag / Arbeitsauträge
  Die Lehrkraft stimmt sich mit den Kleingruppen ab, in welcher Reihenfolge die Präsentationen vor der Klasse erfolgen. Dann erteilt sie etwa die folgenden Arbeitsaufträge:
  1. Jede Kleingruppe stellt ihre Arbeitsergebnisse vor der Klasse so vor, dass alle anderen in der Klasse sie auch verstehen und nachvollziehen können. Also: Lasst immer genügend Zeit, damit die Anderen sich auch Notizen in ihrer Projektmappe machen können. Hetzt nicht durch euren Vortrag.
  2. (Ggf.: Ich habe vor, die Präsentation zu bewerten.)
  3. Jede Kleingruppe beleuchtet in ihrem Vortrag das reale Problem unter einem anderen Gesichtspunkt. Alle diese hängen aber, wie wir in der Eingangsdiskussion des Problems bereits festgestellt haben, irgendwie miteinander zusammen. Und genau das wollen wir gemeinsam diskutieren, nachdem alle Vorträge gehalten worden sind. So wollen wir erreichen, dass es nicht bei der Summe (Addition) der Einzelbeiträge bleibt, sondern die Diskussion ein neues Ganzes erwirkt.
  4. In einem abschließenden Gespräch wollen wir auch noch klären, welchen Wert eine arbeitsteilige Arbeit innerhalb eines Teams hat.
     
Didaktische, methodische und organisatorische Anregungen:
 

Auch das Präsentieren-Können ist eine wichtige prozessorientierte (allgemeine) Kompetenz.
Die Jugendlichen sollen/sollten durch die Gesamtheit der Präsentationen zur Erkenntnis von Zusammenhängen gelangen, deren Bewertungen für ihr eigenes gesellschaftliches Handeln bedeutungsvoll sein können (emanzipatorische Kompetenzen!). Sie können die mathematischen Modellierungen als eine Erkenntnishilfe zur Bewertung des Problems erleben. Mathe bekommt einen anderen Sinn als nur und lediglich ihren Selbstzweck.
Alle Kleingruppen können bei den Präsentationen erleben, wie die Modellierung ihres Teilbereiches in eine vollständigere Modellierung des realen Problems eingebettet ist. Die Jugendlichen können so erleben, dass arbeitsteilige Teamarbeit produktiv ist und keine „Zeit“ verschwendet.

Nach diesen 3 Wochen (bei drei Mathestunden pro Woche) sollte in der Regel keine Klassenarbeit geschrieben werden. Zu Beginn der projektorientierten Unterrichtsphase sollte mit den Jugendlichen vereinbart werden, was zur Leistungsbewertung am Ende herangezogen wird (z.B. die Projektmappe, die Präsentation, die Beobachtungen zum Arbeits- und Sozialverhalten ...). Soll eine Klassenarbeit geschrieben werden, dann bieten sich aber nur Aufgaben an, die auch das zuvor Gelernte abprüfen. Solche Aufgaben sind zu finden unter:

 
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9. und 10 (ggf. auch 11.) Unterrichtsstunde:

Systematisierung der dynamischen Modellierung und der dabei genutzten Mathematik

sowie

Gegenüberstellungen von dynamischer und funktionaler Modellierung

 

 
   

 

Fragend-entwickelder Unterricht zur Systematisierung der "dynamischen Modellierung"
 

Die Mathematiklehrerin oder der Mathematiklehrer wiederholt noch einmal mit ihren/seinen Worten je eine Lösung der Gruppen 1, 2 und 3. Sie lenkt wiederholend den Blick auf:

  • die Größen "Kapital", "Konsum", "Investition" und "Volkseinkommen", die den Zustand des betrachteten Wachstumsmodells beschreiben,
  • den nowendigen Beschreibungsbegriff: Zustandsgröße mit Anfangsgröße,
  • die Größen "Konsum_Zunahme" oder "Investitions_Abnahme, die die Veränderungen der betrachteten Zustandsgrößen beschreiben,
  • den notwendigen Beschreibungbegriff: Flussgröße,
  • die Konstanten oder Parameter (Konsumzunahmekoeffizient, Investitionsabnahmekoeffizient, Anpassungsfaktor), die auf die Flussgrößen wirken können und
  • den notwendigen Beschreibungsbegriff "dynamisches Modell": Es ist ein zeitabhängiges Modell, dass sich in der Zeit oder in einem Zeittakt (Delta t) verändert.

Nach Präzisierung der vorstehenden Grundbegriffe verdeutlicht die Mathe-Lehrperson in jedem Fall noch einmal:

  • die Darstellung der dynamischen Zusammenhänge in der Flussdiagramm-Symbolik und dem damit verbundenen Zweck,
  • die Beschreibung der dynamischen Veränderung im Zeittakt (Delta t) in Form von Zustandsgleichungen für die Zustandsgrößen und weiteren Modellgleichungen für die Flussgrößen,
  • die Programmierung der Zustands- und weiteren Modellgleichungen u.a. in Excel-Tabellen zum Zwecke der Simulation und
  • die Notwendigkeit einiger Simulationsläufe zur Beschreibung der Verhaltens der Modelle.
Sodann lässt die Lehrperson die Kleingruppe(n) den untersuchten dynamischen Zusammenhang im Kontext des realen Problems des "Wachsens von Wirtschaften" noch einmal interpretierend darstellen, zum Beispiel durch die Fragen:
  • Warum soll oder muss eine Volkswirtschaft immer wachsen?
  • Gibt es überhaupt keine Grenzen für wirtschaftliches Wachstum?
  • Warum gibt es Grenzen des Wachstums in Ökosystemen aber nicht in Volkswirtschaften?
   

 

Didaktische, methodische und organisatorische Anregungen
zur Systematisierung der dynamischen Modellierung:
 

Während der Systematisierung und Interpretation der dynamischen Modellierungen der Gruppen 1,2 und 3 sollten deren Flussdiagramme stets für alle sichtbar sein. Entweder erhalten alle Schülerinnen und Schüler der Klasse eine Fotokopie der Modelle oder die Modelle werden auf einer "Tapete" aufgezeichnet und in der Klasse ausgehangen.
Wichtig ist festzustellen, dass die Modelle immer abhängig vom Zweck der Untersuchung sind. Es gibt also immer auch alternative Modelle. Im obigen Fall werden Modelle untersucht, die aufeinander aufbauen.

Und: Zur Untersuchung dynamischer Systeme ist immer ein Computer-Werkzeug notwendig. Es gibt verschiedenartige Werkzeuge. Siehe hierzu: Werkzeuge zur Modellbildung: Beispiele zur selbstständigen Arbeit .
Das Werkzeug Excel ist aber ebenfalls geeignet, wenn die Modelle nicht zu komplex sind. Excel hat den Vorteil, dass es weit verbreitet und verfügbar ist. Siehe hierzu:
Crash-Kurse: Einführung in die Nutzung von Excel.

Im Leistungskurs Mathe in Klasse 11 oder 12 kann ggf. auch der Zusammenhang des Systems aller Zustands- und weiteren Modellgleichungen mit einem Differenzengleichungssystem oder einem Differentialgleichungssystem hergestellt werden.
In jedem Fall sollte den Jugendlichen klar werden, dass wir es bei einer dynamischen Modellierung mit einer diskreten Mathematik zu tun haben. Diskret deshalb, weil alle Berechnungen Schritt für Schritt erfolgen und aufeinander aufbauen. Es gibt in der Regel keine geschlossenen algebraischen Ausdrücke (Funktionsterme) für die Zustandsgrößen in komplexen Systemen.

 
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Fragend-entwickelder Unterricht zur Gegenüberstellung von funktionaler und dynamischer Modellierung
  Zur Gegenüberstellung von dynamischer und funktionaler Modellierung lässt die Mathe-Lehrerin oder der Mathe-Lehrer auch die Interpretationen der Gruppen 4 wiederholen, die sich zum Beispiel mit einer Analyse zur wirtschaftliche Entwicklungen heute in den alten Industriestaaten und
u.a. in Asien
beschäftigt haben. Die Mathe-Lehrerin oder der Mathe-Lehrer erarbeitet sodann mit der Klasse folgende Feststellungen:
  1. Dynamische Modellierungen führen zu Beschreibungen des Systemverhaltens von zweckbedingt, untersuchten Modellen und erlauben Aussagen darüber, wie eine Veränderung der "Stellschrauben" (Parameter) im System wirkt: in welcher Richtung ihre Veränderung verheerende oder günstige Auswirkungen hat. Erkenntnisse dieser Art, können dann handlungsleitend sein.
  2. Funktionale Modellierungen führen zu Beschreibungen von Verläufen in der Vergangenheit und versuchen über Approximationen mit Trendlinien zu Prognosen für die nahe Zukunft zu gelangen. Prognosen sind immer unsicher! Erkenntnisse dieser Art sagen aber, wie es war und wie es ggf. sein wird, wenn sich die Bedingungen nicht ändern.
     
Didaktische, methodische und organisatorische Anregungen
zur Gegenüberstellung von funktionaler und dynamischer Modellierung
  Natürlich kann bei einer ersten Einführung in die dynamische Modellierung auf ein Vergleich von funktionaler und dynamischer Modellierung verzichtet werden. Bei einer weiteren Anwendung der dynamischen Modellierung sollte dieser Vergleich aber durchgeführt werden. Siehe hierzu auch:

Bei der funktionalen Modellierung ist festzustellen, dass auf der Grundlage von Approximationen (ggf. durch lineare, quadratische oder exponentielle Trendlinien) Prognosen für die nahe Zukunft versucht werden. Dabei ist es wichtig, dass die Jugendlichen sich auch auseinander setzen mit:

 

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11. und weitere Unterrichtsstunden:

Übungen und Anwendungen
zur dynamischen Modellierung
in anderen
Wirklichkeits-Kontexten

 

     
Didaktische, methodische und organisatorische Hinweise
  Eine Übersicht über die Bündelung aller mathematischen Hilfen zur dynamischen Modellierung siehe:

Für weitere Übungen zur dynamischen Modellierung in anderen Anwedungskontexten wird verwiesen auf:

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