Hackenberg Linus
Donnerstag, 21. Juli 2016
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Die These, dass die Zahl der gleichen Spiralen eine Fibonacci-Zahl ist, wurde wie folgt (vereinfacht) begründet:
{1. Der Goldene Winkel lässt sich im Unendlichen in dem Blätterkonfigurations-System überschneiden:
n1 * 360/ϕ2 = 360°*n2 + 360/ϕ2 | /360°
n1/ ϕ2 = n2 + 1/ϕ2 | * ϕ2
n1 = ϕ2*n2 + 1 | -1
n3 (n3 ε N, eine natürliche Zahl größer 0 bleibt bei Subtraktion von 1 natürlich) = ϕ2*n2 |/n2
r (rε R) = ϕ2
r = ((sqrt(5)+1)/2)2
r = (sqrt(5)+1)^2 + sqrt(5) + 0,25
r = 5 + 1 + 2sqrt(5) +sqrt(5) + 0,25
r = 6,25 + 3sqrt(5) }
2. ϕ ist mit größter Ungenauigkeit mit a/b zu nähern:
ϕ = 1 + (1/ϕ) (Induktiv zu begründen)
ϕ = 1 + (1/(1/(1/ϕ)))
ϕ = 1 + (1/(1/(1/(1/(1/[...])))))
Kleinste Quotienten im Restbruch sind bei nicht-rationalen Zahlen der Indikator für Ungenauigkeit bei Annäherung mit a/b. Da 1 den kleinsten möglichen Quotienten darstellt, ist ϕ am schlechtesten mit a/b angenähert. Somit ist der Goldene Winkel (mit Einbezug von 1.)derjenige, der bei gleicher Zahl an Umdrehungen im Blätterkonfigurations-System den größten Durchschnittswinkel zwischen zwei Blättern und somit die gerinste Überschneidung aufweist. Er ist evolutiv "am besten".
3. Verhältnis von Blätterzahl (x) zu Umdrehungen:
1/ϕ2=fFibonacci(x)/fFibonacci(x+2)
Nach einer Fibonaccizahl von Blättern (bzw. dieser Zahl + n, solange n<Fibonacci(x+1)) hat das Blatt Fibonaccizahl - 2 Umdrehungen gemacht.
4. Insgesamt
Nach 1. nähert sich der Gesamtwinkel nach n Blättern 360*n2 an, und zwar mit kleiner werdendem Abstand. Demnach wird nach einer Fibonaccizahl an Blättern (3.) der Winkel zum nächten Blatt kleiner. Dies wird als Spirale wahrgenommen.
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Kategorien:
Sommerakademie 2016 Tag 2