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Die Maßtheorie ist ein
Teilgebiet der Mathematik, das die elementargeometrischen
Begriffe Streckenlänge, Flächeninhalt,
Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht,
auch komplizierteren Mengen ein Maß
zuzuordnen. Sie bildet das Fundament der modernen
Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Als
Maß versteht man in der Maßtheorie eine
Zuordnung von reellen oder komplexen Zahlen zu einem
Teilmengensystem über einer Grundmenge. Die
Zuordnung und das Teilmengensystem sollen dabei
bestimmte Eigenschaften besitzen. In der Praxis
ist häufig nur eine partielle Zuordnung von
vornherein bekannt. Zum Beispiel ordnet man in der
Ebene Rechtecken das Produkt ihrer Kantenlängen
als Flächeninhalt zu. Die Maßtheorie
untersucht nun einerseits, ob sich in konsistenter
Weise und eindeutig diese Zuordnung auf größere
Teilmengensysteme erweitern lässt und andererseits,
ob dabei zusätzliche gewünschte Eigenschaften
erhalten bleiben. Im Beispiel der Ebene möchte
man natürlich auch Kreisscheiben einen sinnvollen
Flächeninhalt zuordnen und wird gleichzeitig
neben den Eigenschaften, die man von Maßen
ganz allgemein verlangt, auch Translationsinvarianz
fordern, das heißt der Inhalt einer Teilmenge
der Ebene ist unabhänging von ihrer Position. |
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