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Netze und dynamische Systeme
Modellierung der
dynamischen Ausbreitung eines Infektes

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Wortmodell
  Bereits infizierte Jugenliche werden nach einer gewissen Zeit (Inkubationszeit) krank. Alle Kranken und Infizierten stecken immer wieder noch nicht infizierte Jugenliche an.
     
Wirkungsdiagramm
 
     
Qualitative Beschreibung
  Die Zahl der Kranken wirkt positiv auf die Zahl der Infizierten: Je mehr Kranke es gibt, desto mehr Menschen können infiziert werden, desto mehr Infizierte wird es geben und desto mehr werden krank.
 
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Abstraktion oder Bestimmung der Zustandsgröße, Flussgröße und Parameter
  Die Zustandsgröße Kranke (K) ist leicht zu erkennen. Flussgröße ist die Zahl der Infizierten (I). Auf sie wirkt eine Infektionsrate (r) und die Zahl der bereits Kranken.
Die Infizierten werden erst nach einer Inkubationszeit krank. Diese bleibt hier unbeachtet. Siehe hierzu aber gegebenenfalls "Ideale Modelle zur Ansteckungs- und Abklingphase eines Infekts" in der Lernumgebung "Mathe Überall".
     
Flussdiagramm und Quantifizierung
 
     
Zustands- und Modellgleichung
 
Kranke_neu < -- Kranke_alt + Δt · Infizierte;
Anfangsgröße K = 3
Δt = 1, (Zeittakt 1Tag)

Infizierte = Kranke · Infektionsrate
Infektionsrate r = 0,1

Anmerkung: In einer Schule könnte durch Abzählen der Kranken zu Beginn und am Ende einer Woche experimentell und simulativ die Ansteckungsrate bestimmt werden.

   

 

Programmierung mit Excel
  Siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe1628a.htm (nur zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1628a.xls (herunterladbar und interaktiv)

Anmerkung: Zur Programmierung siehe: Crash-Kurse: Einführung in die Nutzung von Excel

    
Eine Simulation

(sie passt zu der obigen Quantifizierung)

Wird die Infektionsrate erhöht, so ergibt sich bei gleich bleibender Anfangsgröße schnell ein völlig anderes Bild. Erst recht steigt die Zahl der Kranken rasend schnell, wenn auch noch die Anfangsgröße erhöht wird.

 
   

 

Verhaltensbeschreibung, Zweck und Grenzen des Modells
 

siehe unten als Aufgabe.

 

Wie ändert sich aber die Anzahl von Gesunden, Kranken und schließlich von Immunen bei einer Epidemie?

   

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Wortmodell und qualitative Beschreibung
  Gesunde werden infiziert und dann krank. Kranke erholen sich, werden geheilt und sind dann für eine Zeit immun gegenüber der infektiösen Krankheit. Diese Wirkungen sind positiv.
Aber je mehr Kranke es gibt, desto weniger Gesunde wird es geben. Die Anzahl der Kranken wirkt negativ auf die Anzahl der Gesunden. Entsprechend wirkt die Anzahl der Immunen auf die Anzahl der Kranken.
Das folgende Wirkungsdiagramm beschreibt die Zusammenhänge qualitativ. Es wird also gefragt, Was wirkt auf Was und wie. Argumentiert wird mit dem Plus- oder Minuszeichen oder mit „je desto“.
     
   
     
Abstraktion oder Bestimmung der Zustandsgrößen, Flussgrößen und Parameter
  Bei einer Quantifizierung des Wirkungsdiagramms in das folgende Flussdiagramm sind die Gesunden (Ges), Kranken (Kra) und Immunen (Imm) die Zustandsgrößen. Sie sind quasi hintereinander geschaltet. Die Zahlen folgen auseinander.
Die Zahl der Infizierten (In) und die der immer wieder Geheilten (Ge) sind die Flussgrößen. Auf die Flussgröße der Infizierten wirken die Infektionsrate (ir) und der Zahl der Gesunden. Entsprechend wirken auf die Zahl der Geheilten die Heilungsrate (hr) und der Zahl der Kranken.
     
Flussdiagramm und Quantifizierung
 
 

 

Zustands- und Modellgleichung
 
Ges_neu <-- Ges_alt + Δt · (-In);
Anfangsgröße: Ges = 5000; Δt = 1; (Zeittakt: 1 Tag oder 1 Woche ...)

Kra_neu <-- Kra_alt + Δt · (In - Ge);
Anfangsgröße: Kra = 0 ; Δt = 1; (Zeittakt: 1 Tag oder 1 Woche...)

Imm_neu <-- Imm_alt + Δt · (Ge);
Anfangsgröße: Imm = 0; Δt = 1; (Zeittakt: 1 Tag oder 1 Woche...)

In = Ges · ir; Infektionsrate: ir = 0,1;
Ge = Kra · hr; Heilungsrate: hr = 0,035

Woher die Werte für die Raten kommen, das siehe unter Sach-Informationen zu Grippen, SARS und andere viröse Krankheiten). Im vorstehenden Modell werden die Infektions- und Heilungsrate als nahezu gleich angenommen. Die Heilungsrate „hinkt“ im obigen Modell aber etwas hinter der Infektionsrate her.
Allgemein gilt, dass die Infektions- und Heilungsrate vom Typ der Epidemie abhängen aber auch voneinander abhängen können. Es ist z.B. ein Unterschied, ob sich eine normale Grippe oder AIDS oder SARS ausbreitet.
     
Programmierung mit Excel
 

Siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe1628b.htm (nur zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1628b.xls (herunterladbar und interaktiv)

Die Zahl der Infizierten und Geheilten ist jeweils auf null Stellen hinter dem Komma gerundet. Mathematisch ist das ein Fehler, interpretativ gibt es aber nur ganze Menschen!

   

Eine Simulation

(sie passt zu der obigen Quantifizierung)

 

In der Tabelle lassen sich die Anfangsgrößen und Raten sowie Delta t ändern. Geschieht dies, so ergibt sich jeweils ein anderes (ggf. auch nicht mehr interpretierbares) Simulationsergebnis.

 
     
Verhaltensbeschreibung, Zweck und Grenzen des Modells
  In diesem dynamischen Modell der Ausbreitung einer Epidemie nimmt die Zahl der Gesunden in der ersten Zeit schnell ab und nähert sich dann langsam nahezu der Null. Alle werden krank. Die Zahl der Kranken steigt schnell auf einen Höchstwert, nicht ganz halb so groß, wie der Anfangswert der Gesunden. Dann sinkt die Zahl der Kranken - langsamer werdend - auch gegen Null ab. Die Zahl der Immunen steigt zunächst schnell an und strebt dann langsamer werdend einem Höchstwert zu, der dem Anfangswert der Gesunden entspricht. Schließlich sind alle Kranken immun geworden, also wieder gesund.
Wird Delta t verkleinert, so zieht sich der beschriebene Prozess über eine längere Zeit hin. Der gesamte Zeitablauf wird verzögert.
Die Modellierung endet also - nach einer quantitativen Zwischenphase - mit einer Verhaltensbeschreibung, die wieder qualitativ ist. Das ist in diesem Fall aber der Zweck des Modells. Es vermittelt die grundlegende (qualitative) Einsicht : So läuft generell eine Epidemie ab! Sollen quantitative Prognosen erstellt werden, müssen die Infektions- und Heilungsrate zum Typ der Epidemie passen.
 
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Eine mögliche nochmalige Modellerweiterung
  Aber in diesem Modell erkranken alle Gesunden und werden schließlich immun. Das muss aber so nicht sein. Es gibt z.B. auch Ausbreitungen von Viren, die zum Tod führen. Hier liegt also eine Grenze des Modells.
     
Wirkungsdiagramm zu einer möglichen Modellerweiterung
 
     
 
 
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Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:

 
  • Beschreibt das Verhalten zur Ausbreitung einer Infektion, den möglichen Zweck der Modellierung aber auch die Grenzen dieses Modells.
  • Im Fall einer sehr ansteckenden Infektion gibt es eine Meldepflicht bei der Gesundheitsbehörde. Diskutiert den Grund.
  • Diskutiert miteinander die mögliche Modellerweiterung der Ausbreitungen von Viren, die auch zum Tod führen können.
  • Erstellt zu diesem erweiterten Modell die zugehörigen Zustandsgleichungen und Modellgleichungen.
  • Programmiert das Modell mit Excel und simuliert es.
  • Besprecht miteinander, warum bei all diesen Modellierungen von idealen Modellen gesprochen werden muss.
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