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Bestimmung des
Terms der
"Buro Creek Bridge"
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Hier die "abgelesene" Wertetabelle
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x
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0
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5
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7,6
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9
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y
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0
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- 1,8
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- 4
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- 6
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Die Frage lautet:
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Wie könnt ihr mittels eines Terms
aus den vier x-Koordinaten 0; 5; 7,6 und 9 jeweils die dazu gehörigen
y-Koordinaten 0; -1,8; -4 und -6 errechnen? |
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Überlegungen
zu einer experimentellen Herleitung
des Terms
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Erinnert
euch an den euch bekannten linearen Term m · x + b. Wenn
die Berechnungen mittels dieses Terms gelängen, dann wäre die Variable
b gleich Null, denn der Graph geht durch den Koordinatenursprung.
Wenn ihr jetzt mit diesem linearen Term experimentiert,
so werdet ihr nach einigem Probieren keine gut angenäherten y-Werte
finden.
Versucht es daher einmal mit dem Term a · x² + b. Auch hier muss die Formvariable b wieder Null sein, denn der
Graph geht durch den Koordinatenursprung (0/0). |
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| Excell-Mappe
zur Ansicht im Browser
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Mit Klick auf "Excel-Tabelle und -Diagramm..." öffnet sich im Browser eine Excel-Mappe zu Ansicht. Sie ist nicht interaktiv. Im Internet Explorer (ältere Version) kann sie mit "Datei öffnen mit Microsoft-Excel" in eine interaktive verwandelt werden.
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Mit Klick auf "Excel-Tabelle und -Diagramm ... " öffnet sich im Browser ein Fenster zum Dateidownload. Mit "öffen" aktivieren und OK wird die Excel-Mappe geöffnet und ist interaktiv. Sie kann auch auf den eigenen Rechner geladen werden.
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Ein
mögliches Ergebnis des Experiments
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Nach einigen Zahlen-Einsetzungen
für die Formvariable a gelingt euch vielleicht die folgenden
Tabelle:
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Der
Term und die Funktionsgleichung
der Buro Creek Bridge
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Der
Term mit dem aus den vier x-Koordinaten
0;
5; 7,6 und 9 jeweils die dazu gehörigen y-Koordinaten gut angenähert
errechnet werden können lautet also:
-
0,07 · x² + 0
Die
Funktionsgleichung lautet: y
= -
0,07 · x² + 0 |
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Der
Term des "Ponto de Cecco"
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Zur Erinnerung die
"abgelesene" Wertetabelle
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x |
- 5,7 |
0 |
1,8 |
5,7 |
7,2 |
y |
0 |
6,5 |
6,1 |
0 |
- 5,3 |
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Überlegungen
zur experimentellen Herleitung des Terms
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Geht man bei
der folgenden experimentellen Herleitung wieder - wie zuvor beschrieben
- von dem Term a · x² + b aus, so lässt
sich durch Einsetzen der Null in diesen Term erkennen, dass die Formvariable
b gleich 6,5 ist. Der Graph geht durch den Punkt (0/6,5). |
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Excell-Mappe
zur Ansicht im Browser
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Zwei
mögliche Ergebnisse
des Experiments
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Nach einigem Experimentieren
werdet ihr vielleicht die beiden folgenden Tabellen finden. Die erste
ist - bis auf den Punkt (7,2/-5,3) - eine gute Annäherung an
den "realen" Bogen. Die Verzerrung beim Abstrahieren des
Bogens ist wohl noch nicht gut genug ausgeglichen worden.
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Der
Term und die Funktionsgleichung
des Ponto de Cecco
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Der Term (die
Rechenvorschrift) mit dem aus den fünf x-Koordinaten -5,7;
0; 1,8; 5,7 und 7,2 jeweils die dazu gehörigen y-Koordinaten
gut angenähert errechnet werden können lautet also: - 0,2 · x² + 6,5
Die
Funktionsgleichung lautet: y
= - 0,2 · x² + 6,5 |
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Algebraische
Herleitung
des Terms
mit dem Werkzeug Derive
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Die
mit Derive gefundene Funktionsgleichung lautet:
y = - 650/3249 x²
+ 13/2
oder:
y
= - 0,2000615 x² + 6,5
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Der
Term der Autobahnbrücke in Hongkong
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Zur Erinnerung die
"abgelesene" Wertetabelle
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x
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- 2
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0
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2
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4
|
6
|
8
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y
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0,6
|
0,2
|
0,6
|
1,9
|
3,9
|
6,4
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Ein
mögliches
experimentelles Ergebnis
mit Excel
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Die experimentelle
Herleitung des Terms geschieht wieder - wie oben beschrieben - mit
dem Werkzeug Excel.
Nach einigem Experimentieren werdet ihr vielleicht die folgende Tabelle finden:  Der abstrahierte
Graph wird mit größer werdendem x zu flach. Auch hier könnte
die Verzerrung noch deutlicher beseitigt werden. Die experimentell
gefundenen Werte weisen den Weg für die Beseitigung der Verzerrung. |
Die Funktionsgleichung |
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zur
Brücke
in Hongkong
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Die Funktionsgleichung
lautet also: y
= 0,1 · x² + 0,2
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Der
Term der Brücke "Espalion" |
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Zur Erinnerung die
"abgelesene" Wertetabelle
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x
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- 3,5
|
- 2
|
- 1
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0
|
1
|
2
|
3,5
|
|
y
|
0
|
2,9
|
3,4
|
3,5
|
3,4
|
2,9
|
0
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Überlegungen
zu einer experimentellen Herleitung
des Terms
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Für die Punkte
auf einem Kreis mit dem Radius r lässt sich die folgende Gleichung
aufstellen:
x² + y² = r²
y = Wurzel aus (r² - x²)
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Ein
mögliches
experimentelles Ergebnis
mit Excel
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Mit dieser Formel
wurde die Exeltabelle programmiert. Die Ungenauigkeiten für y
(experi.) halten sich in diesem Fall im Rahmen von Ablesefehlern.
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Die
Funktionsgleichung zur
Brücke in Espalion
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Die
Funktionsgleichung lautet also: 
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Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen: |
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- Abstrahiert von selbst gewählten weiteren Brückenbildern die Bögen sowie Wertepaare von ausgezeichneten Punkten und bestimmt den Term.
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