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Netze und dynamische Systeme
Modellierung des dynamischen Wachsens einer Population auf begrenzter "Fläche"

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"Begrenzte Fläche" kann bei Populationen auch begrenzte Nahrungsquelle bedeuten oder bei anderen Wachstumsprozessen auch eine Sättigungsgrenze sein.

     
Wortmodell
   In einer Gewächshauskultur wächst die Population eines Insektes heran, das von den Pflanzen der Kultur lebt. Solange genügend Pflanzen da sind, nimmt die Population zu. Aber die wachsende Anzahl an Insekten frisst immer mehr von den Pflanzen kahl. Somit nimmt die Nahrung der Insekten ständig ab. Je weniger Nahrung aber für die Insekten verfügbar ist, desto mehr Insekten werden sterben. Also nimmt die Population der Insekten ab.
     
Wirkungsdiagramm
  
     
Qualitative Beschreibung
  Die Geburtenrate wirkt positiv auf das Wachsen der Population. Je größer die Geburtenrate, desto mehr Insekten werden geboren. Je größer aber die Sterberate ist, um so mehr Insekten sterben.
Die Größe der Population wirkt negativ auf die Nahrung. Je mehr Insekten leben, um so mehr Pflanzen werden gefressen. Je geringer aber die Nahrung ist, um so größer wird die Sterberate.
   
Abstraktion oder Bestimmung der Zustandsgrößen, Flussgrößen und Parameter
   Wir haben in diesem Modell die beiden Zustandsgrößen Population P und Nahrung N, die aber miteinander gekoppelt sind.
Auf das Wachsen der Population wirken die Flussgrößen Zunahme_Populaltion Z_P und Abnahme_Population A_P. Auf die Zunahme der Population wirkt die Geburtenrate gr. Auf die Abnahme der Population wirkt einerseits die Sterberate sr und die abnehmende Nahrung q/N. Sie wirkt umso stärker, je kleiner N wird. Daher steht N im Anpassungsfaktor im Nenner.
Auf die Nahrung N wirkt die Flussgröße A_N. Die Abnahme der Nahrung hängt über den Anpassungsfakor f von der Population P ab.
   
Flussdiagramm und Quantifizierung
 
   
Zustands- und Modellgleichungen
 

P_neu < -- P_alt + Δt · (Z_P - A_P), Anfangsgröße P = 100
N_neu < -- N_alt + Δt · ( - A_N); Anfangsgröße N = 300
Δt = 1 (Zeittakt 1 Tag)

Z_P = P · gr und A_P = P · sr · q/N und A_N = N · f · P
gr = 0,05 und sr = 0,03 und f = 0,001 und q = 5

Anmerkung: Die Anfangsgrößen, der Zeittakt, die Raten, der Anpassungsfaktor und der Anpassungsquotient müssen im konkreten Fall angepasst werden z.B. auf das Wachsen von Spinnmilben in einer Gurkenplantage. Hier wird mit fiktiven Zahlen modelliert.

   
Programmierung mit Excel
 
Zeit
Δt
gr
sr
f
q
Z_P
A_P
A_N
P
N
0
1
0,05
0,03
0,001
5
 
 
 
100
300
1
1
0,05
0,03
0,001
5
5
0,05
30
104,95
270
2
1
0,05
0,03
0,001
5
5,25
0,06
28,34
110,14
241,66
3
1
0,05
0,03
0,001
5
5,51
0,07
26,62
115,58
215,04
4
1
0,05
0,03
0,001
5
5,78
0,08
24,85
121,28
190,19
5
1
0,05
0,03
0,001
5
6,06
0,1
23,07
127,24
167,12
6
1
0,05
0,03
0,001
5
6,36
0,11
21,26
133,49
145,86
7
1
0,05
0,03
0,001
5
6,67
0,14
19,47
140,02
126,39
8
1
0,05
0,03
0,001
5
7
0,17
17,7
146,85
108,69
9
1
0,05
0,03
0,001
5
7,34
0,2
15,96
153,99
92,73
10
1
0,05
0,03
0,001
5
7,7
0,25
14,28
161,44
78,45
   
  siehe hierzu:

ExcelDateien/Mappe7515a.htm (nur zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe7515a.xls (herunterladbar und interaktiv)
     
Eine Simulation

(sie passt zu den obigen Rechnungen)

 
     
 
     

Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:

 
  • Beschreibt das Verhalten des Modells "Wachstum auf begrenzter Fläche"
  • Diskutiert den Zweck eines solchen Modells.
  • Diskutiert miteinander, wo die Grenzen dieses Modells liegen und wie das Modell erweitert werden könnte.
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