| |
|
|
Wortmodell |
|
In der Schule tuscheln einige Jugendliche miteinander: " Morgen gibt es schulfrei, hi,hi ...". Wer diese Nachricht das erste Mal hört, glaubt daran und gibt sie an Andere weiter. Die Nachricht verbreitet sich. Das Gerücht zieht von Klasse zu Klasse weiter. Und schließlich weiß niemand mehr, ob es wahr ist oder nicht. Sobald allerdings jemand die Nachricht ein zweites Mal hört, wird er stutzig und gibt das Gerücht nicht mehr weiter. |
|
|
|
Wirkungsdiagramm
für die
Ausbreitung
eines Gerüchtes:
erster Teil
Die Zahl der Informierten nimmt dadurch zu, dass alle bereits Informierten die Nachricht an w Personen weitersagen. Je mehr Informierte es also gibt, desto mehr Jugendliche gibt es, die die Nachricht weitersagen.
|
|
 |
| |
|
|
|
|
Später in einer erweiterten Modellierung kann dann auch noch betrachtet werden, wie die Zahl derer, die die Nachricht nicht weitergeben, ansteigt und dann negativ auf die Gesamtzahl der Informierten wirkt und so die Weitergabe eines Gerüchtes bremst. |
| |
|
|
Analyse der Zustands- und Flussgröße sowie des Parameters |
|
Die Zustandsgröße ist die Zahl der Informierten (I). Die Zunahme der Informierten (Z_I) ist die Flussgröße. Sie hängt sowohl von der Zahl der Informierten ab als auch davon ab, an wie viel Jugendliche die Informierten durchschnittlich jeweils die Nachricht weitersagen. Diese Zahl ist der Parameter (w); das ist die " Rate_Weiteragen". |
| |
|
|
Flussdiagramm
für die
Ausbreitung eines Gerüchtes -
erster Teil |
|
 |
| |
|
|
Zustands- und Modellgleichung
für die Ausbreitung eines Gerüchtes - erster Teil |
|
Aus dem Flussdiagramm wird eine Zustandsgleichung und eine weitere Modellgleichung für die dynamische Zunahme der Informierten abgeleitet. Die Zustandsgleichung lässt sich unter Berücksichtigung eines Zeittaktes Δt zwischen Zustand_alt und Zustand_neu sowie der Festlegung für die Anfangsgröße der Informierten formalisieren. Die Modellgleichung beschreibt die jeweilige Zunahme der Informierten. Dafür muss die "Rate_Weitersagen" mit einer Zahl belegt werden.
Informierte_neu < -- Informierte_alt + Δt · Zunahme_Informierte
kurz: I_neu < -- I_alt + Δt · Z_I
Anfangsgröße Informierte I = 3
Zunahme_Informierte = Informierte_alt · Rat_Weitersagen
kurz: Z_I = I · w mit w = 2 |
| |
|
|
Programmierung der Zustands- und Modellgleichung mit Excel |
|
siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe7415a.htm (nur zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe7415a.xls (herunterladbar und interaktiv) |
| |
|
|
Zur Programmierung
mit Excel siehe:
Crash-Kurse zur selbstständigen Einarbeitung in Excel
(z.B. Anlegen einer Tabelle, Eingeben einer Rechenvorschrift, Zeichnen von Diagrammen ...) |
|
Zeittakt (Unterrichtstunde) |
Δt |
w |
Z_I |
I_neu |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
1 |
2 |
6 |
9 |
2 |
1 |
2 |
18 |
27 |
3 |
1 |
2 |
54 |
81 |
4 |
1 |
2 |
162 |
243 |
5 |
1 |
2 |
486 |
729 |
6 |
1 |
2 |
1458 |
2187 |
|
| |
|
|
Simulation 1
Ausbreitung eines Gerüchtes
auf der Grundlage der
obigen Vorgaben |
|
 |
| |
|
|
Simulation 2
Wir ändern die Vorgaben:
Nur zwei Jugendliche bringen zu Anfangs die Nachricht in Umlauf. Und die Rate des Weitersagens ist im Durchschnitt nur 1,5
siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe7415b.htm (nur zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe7415b.xls (herunterladbar und interaktiv) |
|
 |
| |
|
|
Verhaltensbeschreibung, Interpretation und
Grenzen des Modells |
|
Die Zahl der Informierten steigt mit großer "Geschwindigkeit": In immer kürzeren Zeitabständen verdoppelt sich die Zahl der Informierten. Sie ist umso größer, je größer die Anfangszahl und die Weitergabe_Rate sind. Dass aber die informierten Jugendlichen bei der Ausbreitung eines Gerüchtes immer wieder auf Jugendliche treffen, die die Nachricht noch nicht kennen, das ist nicht realistisch. Diese Grenze des Modells wird im nächsten Modell überschritten. |
|
|
|
| |
|
Ein mögliches erweitertes Modell
zur Ausbreitung eines Gerüchtes |
| |
|
|
| Wirkungsdiagramm eines erweiterten Modells zur Ausbreitung eines Gerüchtes
|
|
 |
| |
|
|
| |
|
Die Zahl der Informierten nimmt dadurch zu, dass alle bereits Informierten die Nachricht an w Personen weitersagen. Je mehr Informierte es also gibt, desto mehr Jugendliche gibt es, die die Nachricht weitersagen. Aber auch die Zahl derer steigt, die die Nachricht bereits kennen und sie dann nicht weitergeben. Und: Je mehr bereits informiert sind, desto mehr kennen bereits die Nachricht. |
| |
|
|
Analyse der Zustandsgröße und der Flussgrößen sowie der konstanten und zeitabhängigen Parameter |
|
Die Zustandsgröße ist weiterhin die Zahl der Informierten (I). Neben der Zunahme der Informierten (Z_I) gibt es nun aber auch die Flussgröße der Bereits_Informierten (B_I). Beide Flussgrößen hängen von der Zahl der Informierten ab. Die Rate_Weitersagen w gibt an, an wie viel Jugendliche die Informierten durchschnittlich jeweils die Nachricht weitersagen. Aber die Zahl der Informierten wächst mit der Zeit immer langsamer. Denn immer mehr Jugendliche sind bereits_informiert und geben die Nachricht nicht mehr weiter. Diese Zahl der Bereits_Informierten, so wird hier angenommen, wächst also mit einer zeitabhängigen linearen Funktion y. |
| |
|
|
Flussdiagramm
des erweiterten Modells zur Ausbreitung eines Gerüchtes |
|
 |
| |
|
|
Zustandsgleichung und Modellgleichungen
des erweiterten Modells zur Ausbreitung eines Gerüchtes |
|
Aus dem Flussdiagramm wird eine Zustandsgleichung und werden zwei weitere Modellgleichungen für die dynamische Weitergabe eines Gerüchtes abgeleitet.
Die Zustandsgleichung lässt sich unter Berücksichtigung eines Zeittaktes Δt zwischen Zustand_alt und Zustand_neu sowie der Festlegung für die Anfangsgröße der Informierten formalisieren.
Die Modellgleichungen beschreiben einerseits die jeweilige Zunahme_Informierten und andererseits die jeweilige Zahl der Bereits_Informierten. Dafür muss die "Rate_Weitersagen" mit einer Zahl belegt und die lineare Funktion y beschrieben werden.
I_neu < -- I_alt + Δt · ( Z_I - B_I )
Anfangsgröße Informierte I = 3; Δt = 0,2; Zeittakt 12 Minuten
Z_I = I · w mit w = 2
B_I = I · y mit y = m · t mit m = 0,35 |
| |
|
|
Programmierung der Zustands- und Modellgleichung mit Excel |
|
siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe7415c.htm (nur zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe7415c.xls (herunterladbar und interaktiv) |
| |
|
|
Annahmen: Der Zeittakt ist jetzt 12 Minuten oder 0,2 Stunden. Entsprechend wird Δt auch verkleinert. In diesem Zeittakt wird die Information weitergegeben. |
|
Zeittakt
(in h) |
Δt |
w |
m |
y |
Z_I |
B_I |
I_neu |
0 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0 |
|
|
4 |
0,2 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,07 |
8 |
0 |
6 |
0,4 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,14 |
12 |
0 |
8 |
0,6 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,21 |
16 |
1 |
11 |
0,8 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,28 |
22 |
2 |
15 |
1 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,35 |
30 |
4 |
20 |
1,2 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,42 |
40 |
7 |
27 |
1,4 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,49 |
54 |
11 |
36 |
1,6 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,56 |
72 |
18 |
47 |
1,8 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,63 |
94 |
26 |
61 |
2 |
0,2 |
2 |
0,35 |
0,7 |
122 |
38 |
78 |
|
| |
|
|
Simulation des erweiterten Modells zur Ausbreitung eines Gerüchtes
Ausbreitung eines Gerüchtes
auf der Grundlage der
Vorgaben der erweiterten Modellierung |
|
 |
| |
|
|
Wie realistisch ist ein Modell und woher kommen eigentlich die Zahlen für die Parameter? |
|
Wie realistisch ist dieses Modell? Wollen wir wissen, nach ungefähr welcher Zeit alle Jugenlichen einer Schule das Gerücht kennen, dann kann nur ein Modell realistisch sein, in dem die höchste Zahl für die Informierten die Zahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule ist. Genau diese Grenze legt in der vorstehenden Modellierung die Weitergabe_Rate und die Funktion fest. Das heißt die Zahlen für die Parameter werden in diesem Fall experimentell durch Simulationen gefunden.
Aber: An dem letzten Graphen sieht man auch, dass zwar ein Maximum an Informierten erreicht wird, jedoch nach dem Maximum die Zahl der Informierten kleiner wird. Das ist die Grenze dieses Modells.
Eine weitere Möglichkeit der Modellierung, ist in dem folgenden Beispiel beschrieben. |
| |
|
|
Mögliche Vertiefung und Erweiterung der Begrifflichkeit an einem weiteren Beispiel |
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen: |
|
- Macht euch in eurer Kleingruppe mit den Grundbegriffen eines dynamischen Systems (Modells) vertraut. Warum und wann heißt ein System dynamisch?
- Diskutiert in eurer Kleingruppe die Grundbegriffe zunächst an dem vorstehenden und dann an dem vertiefenden Beispiel.
- Übertragt die Flussdiagramm-Symbolik und -Sprache auch auf das folgende einfache "Wachstumsproblem" der Abnahme der Schulden in einem Tilgungsplan.
- Macht euch vertraut mit den folgenden Begriffen:
|
Weitere Vertiefungen
zur Begrifflichkeit |
|
|
