Dynamische Systeme zu modellieren und zu simulieren ist für Lehrende wie für Lernende ein neues aber wichtiges Gebiet. Denn mit der Behandlung von Komplexitäten insbesondere von dynamischen Systemen verbinden sich zukunftorientierte, wichtige neue Bildungsziele.
An alle, die mit der Modellierung und Simulation dynamischer Systeme im Unterricht experimentieren, stellt sich also die Frage: Wo und in welchen unterrichtlichen Zusammenhängen können mit Hilfe der Methode der "system dynamics" Erkenntnisse gewonnen werden, die auf konventionelle Art nicht oder nur schwer zu gewinnen sind? Antworten auf diese Frage sollen im Arbeitsbereich gesammelt werden.

Auch Lehrende müssen sich also in der Regel zunächst mit der grundlegenden Theorie zur Systemdynamik vertraut machen. Hierzu werden im Arbeitsbereich die folgenden grundlegenden Informationen angeboten:

• System, Modell und Simulation
• Chancen und Gefahren der Simulation
• Ziel und Fehlerquellen

In der Mediothek werden die folgenden Unterrichtsprojekte oder Unterrichtsreihen angeboten. Auch sie können als htm-Seiten einzeln heruntergeladen werden.

• Unterrichtsprojekt: "Kläranlage" (ab Klasse 9)
• Unterrichtsprojekt: "Vom Datensatz zum Modell: Wozu Hefe nicht alles gut ist ..." (ab Klasse 10)
• Unterrichtsreihe: Modell-Aquarium (ab Klasse 8)
• Unterrichtsreihe: Bevölkerungsentwicklung in China (ab Klasse 8)

Bei den insgesamt 16 dynamischen Systemen aus Biologie, Chemie, Physik, Geografie und Medizin, die in der Mediothek aufbereitet sind und angeboten werden, spielt immer und unvermeidlich auch die "Mathematik" eine zentrale Rolle. Alle System-Beispiele eignen sich also mehr oder weniger als "reale Probleme", wie sie in dieser Arbeitsumgebung "Modellieren mit Mathe" vorgeschlagen werden. Sie könnten also in einer Modellierungsphase behandelt werden. Einige Beispiele werden daher unten als Nutzungmöglichkeiten dieser Arbeitsumgebung skizziert und dann mit der jeweiligen Eingangsseite auf learn-line verlinkt.

Für die Systematisierungphase - die auf jede Modellierungsphase folgen sollte - bieten sich als Hilfen auch die folgenden Angebote aus der Mediothek an:

Modelltypen (für 9te Klassen und höher):

• Lineares Wachstum,
• Exponentielles Wachstum und
• Logistisches Wachstum

Rechenverfahren (für 11te Klassen und höher):

• Euler-Cauchy für diskrete Systeme
• Euler-Cauchy für kontinuierliche Systeme
• Runge-Kutta 4.Ordnung für kontinuierliche Systeme
• Diskretisierungseffekte beim Euler-Cauchy-Verfahren und beim Runge-Kutta-Verfahren am Beispiel des Exponentiellen Wachstums, Fehlerbetrachtungen,
• Auswahlprobleme mit den Rechenverfahren und Unterrichtsprobleme mit den Rechenverfahren

Algenblüte

Jede Population zeigt in einem unbegrenzten Lebensraum ein exponentielles Wachstum, d.h: in konstanten Zeiträumen verdoppelt sich die Populationsgröße. Da es aber immer Begrenzungen gibt, ist das exponentielle Wachstum nur eine zeitweilige Erscheinung.

Exponentielles und logistisches Wachstum

Beide Modelle enthalten jeweils nur eine Zustandsgröße.

Algenwachstum
abhängig von Nährsalzen

Algen benötigen zum Wachstum Ressourcen und diese regeln ihr Wachstum.
Algen nehmen Nährsalze auf, geben aber beim Absterben auch wieder - über hier nicht dargestellte Prozesse - Nährsalze zurück. Dabei wird hypothetisch davon ausgegangen worden, dass jeweils 10% der Algen absterben.

Ressourcenorientiertes Wachstum: Grundmodell

Im Modell hängen zwei Zustandsgrößen voneinander ab.

Selbstreinigung
von Gewässern

Mit Hilfe des nebenstehenden Modells kann die kurzfristige Einleitung organischer Abfallstoffe, ihre dauernde Einleitung und ihre dauernde und überhöhte Einleitung simuliert werden. Bei diesem Modell steht also die Simulation im Vordergrund und nicht die Modellierung selbst. Dazu werden zusätzliche unterrichtliche Anregungen gegeben und Antworten auf häufig gestellte Fragen gegeben.

Ressourcenorientiertes Wachstum am Beispiel der Selbstreinigung eines Gewässers

Im Modell hängen drei Zustandsgößen voneinander ab.

Harnweg-Infektion

In der Regel verhindern die körpereigenen Abwehrkräfte ein Überhandnehmen der bakteriellen Belastung. Werden diese Abwehrkräfte aber geschwächt, können sich die Bakterien rasant vermehren und führen zu einem typischen Beschwerdebild. Eine Behandlung, hier mit bakterizid wirkenden Antibiotika, ergänzt die geschwächten Abwehrkräfte und trägt mit zum Rückgang und zum Verschwinden der Infektion bei, so lange die Behandlung ausreichend lange und mit ausreichend hoher Dosis durchgeführt wird.

Der dynamische Verlauf einer Harnweg-Infektion

In diesem Modell gibt es nur eine Zustandsgröße: die Bakterien.

Grippen-Epidemie

Bei einer Epidemie ist ein wichtiger Gesichtspunkt das regelmäßige Aufflackern während des Verlaufs der Epidemie, bei der in Wellen ganze Gruppen einer Bevölkerung betroffen sein können.
Die Ursachen für diesen wellenförmigen Verlauf können vielfältig sein. Das hier gewählte Modell beschränkt die Erklärung auf die Faktoren Erkankungs- und Immunitätsdauer sowie Infektiösität der Infektion.

Der dynamische Verlauf einer Epidemie

In diesem Modell spielen drei Zustandsgrößen eine Rolle.

Bevölkerungsmodell: Natürlich wachsende Bevölkerung

Bevölkerungs-
modell

Das hier vorgestellte Modell ist ein Dreikohortenmodell der Bundesepublik Deutschland mit den Angaben aus dem Statistischen Jahrbuch von 1992.

Drei Kohortenmodell der Bundesrepublik Deutschland

• Ressourcenorientiertes Wachstum: Das Aquarium
• Ressourcenorientiertes Wachstum:
  C3-Planzen in Konkurrenz zu C4-Pflanzen
• Räuber und Beute:
  Grundmodell und Kritik
• Räuber und Beute:
  Erweitertes Modell mit Zeitverzug und Kritik