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Ihr habt bei eurer Arbeit an realen Problemen u.a. die folgenden und weitere rationalen Abhängigkeiten kennengelernt. |
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Der Bogen
der Brücke Espalion
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x |
- 3,5 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3,5 |
y |
0 |
2,9 |
3,4 |
3,5 |
3,4 |
2,9 |
0 |
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Die Funktionsgleichung zur
Brücke in Espalion |
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Abstrahieren wir von den Bedeutung tragenden Längen und schreiben wir für die unabhängige Variable immer die Leerstelle (Variable) x und für die abhängige Variable immer die Leerstelle (Variable) y, so lautet die Funktionsgleichung:
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Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Radizieren (das "Wurzelziehen"). So sind die Umkehrfunktionen der quadratischen Funktion die Wurzelfunktionen. |
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Die Funktionsgleichung zur
Abhängigkeit der
Leistung P von der Zeit t |
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Abstrahieren wir von den Bedeutung tragenden Größen (der Zeit t und der Leistung P) und schreiben wir für die unabhängige Variable immer die Leerstelle (Variable) x und für die abhängige Variable immer die Leerstelle (Variable) y, so lautet die Funktionsgleichung:
y = 80J : x |
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Eine nochmalige Abstraktion von den konstanten Größen führt dann zu folgenden Gleichungen mit Formvariablen oder zu den folgenden Gleichungen mit Parametern. |
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y = a : x + b oder f(x) = a : x + b
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Die Grafen der Funktionen y = a · (1/x) + b heißen Hyperbeln. |
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Abstrahieren wir auch hier von den Bedeutung tragenden Größen und schreiben wir für die unabhängige Variable immer die Leerstelle (Variable) x und für die abhängige Variable immer die Leerstelle (Variable) y, so erhalten wir wiederum nach einigen weiteren Verallgemeinerungen u.a. Funktionsgleichungen der folgenden Art: |
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y = (x+a)(x+b)(x+c) oder y = ax³ + bx² +cx + d |
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Funktionen dieser Art heißen Funktionen dritten Grades oder Polynomfunktionen dritten Grades. Entsprechend lassen sich die Funktionen der Formen vierten ... bis n-ten Grades formulieren. |
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Beispiel: Potenzfunktionen |
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Eine Fortsetzung der vorstehenden Abstraktionen führt jeweils zu unterschiedlichen Gruppen von Funktionsgleichungen so z.B. auch zu Funktionsgleichungen bei der die unabhängige Variable x die Basis einer Potenz ist (und der Parameter n Element der Menge der natürlichen Zahlen, die Parameter k und u Elemente der Menge der reellen Zahlen und der Parameter r Element der Menge der rationalen Zahlen ist).
f(x) = k · x^n
f(x) = x^n + u
f(x) = k · x^r, r > 0
f(x) = k · x^r, r < 0 |
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Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:
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- Enwickelt selbstständig einige kleinere Funktionenklassen zu Wurzelfunktionen und zu weiteren rationalen Funktionen.
- Diskutiert die Parameterdarstellungen mit einem Computer-Algebra-Programm z.B. mit Derive.
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Verweis auf Übungen zu Termumformungen mit Potenztermen
in Schulbüchern |
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In allen Schulbüchern findet ihr die folgenden bereits "klassischen" Aufgabentypen zu Termumformungen:
3a² b³ · 5ab² = .................. oder (2a² + 3b³)² = .......................
(a² - b)^-3 = ...................... oder ( c - d³ )^-n = ....................... (a + b)^1/2 = .................... oder (3a² b³)^2/3 = ...................... |
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Das Autorenteam der Ernst-Barlach-Gesamtschule in Dinslaken hat im MV SelMa unter "Lernen an Stationen" (Kurzbeschreibung) zu quadratischen und rationalen Funktionen Angebote zum selbständigen Lernen unterbreitet. |
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- Experimentiert mit den folgenden Übungs-Angeboten auf den interaktiven Seiten von mathe online. (Anmerkung: Das funktioniert aber nur dann, wenn der genutzte Browser Java Applets zulässt.)
- Kartesische Koordinaten, Zeichenebene und Koordinatensystem
- Funktionale Abhängigkeiten verstehen; Funktion und Funktionsgraph
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