am Beispiel
des realen Problems

Unterrichtsverlauf für eine "Anwendungsphase"

Vorbemerkung: Die Anwendung der dynamischen Modellierung im Rahmen eines projektorientierten Unterrichts ist beschrieben am Beispiel des realen Problems "Arbeit für alle!?!" auf der Seite: ma8582.htm
Hier geht es also gezielt darum, wie im Kontext eines realen Problems in die dynamische Modellierung eingeführt werden kann. Vorausgesetzt wird dabei lediglich, dass die Lernumgebung bereits bekannt ist und nicht zum ersten Mal im Unterricht genutzt wird.

1. bis 2. Unterrichtsstunde:

Diskussionen zum realen Problem; Entscheidung der Lehrperson, die "Ausbreitung einer Infektion oder Epidemie" dynamisch modellieren zu lassen; Einbettung dieser Entscheidung in den Kontext des realen Problems; Einarbeitung in die Grundlagen der dynamischen Modellierung

Die Lehrperson führt in eine Diskussion des realen Problems ein, erinnert an den Strukturaufbau der Lernumgebung, begründet ihre Entscheidung für eine dynamische Modellierung und erteilt sodann die folgenden Arbeitsaufträge:

1. Setzt die Diskussion des realen Problems in Kleingruppen selbstreguliert fort. Lasst euch dabei insbesondere unterstützen durch:
   a) Konstruktion/Simulation von dynamischen Wechselwirkungen bei Epidemien: Gruppe 1 und Gruppe 2 [und ggf. Gruppe 3]
   b) Einarbeitung in die Grundgrößen eines dynamischen Systems
   c) Warum sollen im Mathe-Unterricht dynamische Modelle bearbeitet werden?
2. Legt eine Projektmappe an. Skizziert, warum es für euch eine wichtige Kompetenz sein kann, dynamische Wechselwirkungen modellieren zu können. Haltet aber auch fest, welche Schwierigkeiten ihr dabei jetzt noch habt.

Die genannten Seiten können auch als "Arbeitsblätter" ausgedruckt werden. Jugendliche können dann das für sie Wichtige unterstreichen oder hervorheben. Die Seiten können aber auch am Computer gelesen werden. Dann erfolgen die Notizen in der Projektmappe oder in den eigenständig ausgedruckten Seiten. Auf diese Weise kann und soll eine persönliche Betroffenheit sowie eine Motivation zur dynamischen Modellierung geweckt werden.

Die Eingangdiskussion in das reale Problem muss in jedem Fall stattfinden, damit erstens die folgenden mathematischen Modellierungsarbeiten im Problemkontext interpretiert und zweitens auch die Diskussionen nach den Kleingruppen-Präsentationen durch die Jugendlichen in einem Problemzusammenhang geführt werden können.

Die Jugendlichen arbeiten auch schon in dieser 1. UStd., so weit es geht, selbstreguliert. Sie arbeiten sich in der Kleingruppe z.B. in die Grundgrößen eines dynamischen Systems ein. Dazu stehen ihnen hinreichend viele mathematische Hilfen zur Verfügung.

Die Systematisierungen zur dynamischen Modellierung erfolgen erst in der fünften Unterrichtsstunde. Das ist für Mathe-Lehrpersonen ungewohnt !!! Aber: Die Systematisierungen können dann auf den zuvor selbstregulierten Modellierungen aufbauen. Vor einer Systematisierung haben dann die Jugendlichen bereits die Erfahrung gemacht, dass dynamische Modellierungsformen einen Zweck haben: Sie dienen dem Erkenntnisgewinn in realen Zusammenhängen, der handlungsleitende (emanzipatorische) Ziele verfolgt.

Die Lehrperson bettet die folgenden Modellierungsaufgaben in den Kontext des realen Problems ein und begründet ggf. erneut, warum diese Art der Modellierung in einer globaler werdenden Welt mit immer komplexeren Problemen zunehmend zukunftsbedeutsamer wird. Sodann bilden sich arbeitsteilige Kleingruppen, die folgende Arbeitsaufträge erhalten:

1. Arbeitet in den nächsten vier Mathe-Stunden und auch Zuhause selbstreguliert (eigenaktiv, selbstständig, selbstorganisiert und selbstverantwortet) an einer der folgenden Modellierungen, zu der ihr euch in eurer Kleingruppe entschieden habt:
   Gruppe 1: Konstruiert und simuliert dynamische Modelle zur Ausbreitungs- und Abklingphase einer Infektion
   Gruppe 2: Konstruiert und simuliert den Verlauf einer Epidemie oder Pandemie
   Gruppe 3: Konstruiert und simuliert eine mögliche epidemischen Ausbreitung von AIDS (Achtung: Diese Modellierungen stellen höhere Anforderungen!!)
2. Nutzt die neben den Anforderungen stehenden mathematischen Hilfen und - falls notwendig - auch die Hilfen zum Sachverhalt.
3. Stellt eure Modellierungsergebnisse (Arbeitsergebnisse) in euren Projektmappen dar. Nutzt dabei die euch bisher bekannte Mathe, (er)findet aber auch neue hinzu.
4. Interpretiert eure Ergebnisse sachangemessen im Kontext des gesellschaftlich, bedeutungsvollen Problems der Ausbreitung von Epidemien.
5. Erstellt in eurer Kleingruppe eine Präsentation sowohl für die Modellierungsergebnisse als auch für die Interpretation. Hilfen findet ihr unter "Anregungen zur Präsentation der Arbeitsergebnisse" auf der Eingangsseite des realen Problems.

• dass Jugendliche reale Wechselwirkungen - mit der bis dahin bekannten Mathe - selbstreguliert dynamisch modellieren und simulieren können sowie das Verhalten und den Zweck von Modellen beschreiben können,
• dass sie ihre Arbeit selbst organisieren und selbst verantworten (begründen) können,
• dass sie eine ansprechende Präsentation erarbeiten und dann auch halten können (eine Präsentation, die ggf. auch in der Klasse ausgehangen werden kann),
• dass sie Kommunikations- und Kooperationsregeln einhalten können (Anmerkung: das ist eine Grundlage der Teamfähigkeit).

1. Jede Kleingruppe stellt ihre Arbeitsergebnisse vor der Klasse so vor, dass alle anderen in der Klasse sie auch verstehen und nachvollziehen können. Also: Lasst immer genügend Zeit, damit die Anderen sich auch Notizen in ihrer Projektmappe machen können. Hetzt nicht durch euren Vortrag.
2. Jede Kleingruppe beleuchtet in ihrem Vortrag die Dynamik der Ausbreitung von "AIDS und Grippen ..." unter einem anderen Gesichtspunkt. Und genau das wollen wir auch gemeinsam diskutieren, nachdem alle Vorträge gehalten sind.

Auch das Präsentieren-Können ist eine wichtige prozessorientierte (allgemeine) Kompetenz.
Die Jugendlichen sollen/sollten durch die Gesamtheit der Präsentationen zur Erkenntnis von Wechselwirkungen gelangen, deren Bewertungen für ihr eigenes gesellschaftliches Handeln bedeutungsvoll sein können (emanzipatorische Kompetenzen!). Sie können auch die dynamischen Modellierungen als eine Erkenntnishilfe zur Bewertung des Problems erleben. Mathe bekommt einen anderen Sinn als nur und lediglich ihren Selbstzweck.
Alle Kleingruppen können bei den Präsentationen erleben, wie die Modellierung ihres Teilbereiches bereits in eine vollständigere Modellierung des realen Problems eingebettet ist. Sie können auch beschreiben, was eigentlich noch modelliert werden müsste und so erleben, dass arbeitsteilige Teamarbeit produktiv ist und keine „Zeit“ verschwendet.

Nach diesen 1,5 Wochen (bei drei Mathestunden pro Woche) sollte in der Regel keine Klassenarbeit geschrieben werden. Zu Beginn der projektorientierten Unterrichtsphase sollte mit den Jugendlichen vereinbart werden, was zur Leistungsbewertung am Ende herangezogen wird (z.B. die Projektmappe und die Präsentation, ....). Soll nach der Systematisierungsphase eine Klassenarbeit geschrieben werden, dann bieten sich aber nur Aufgaben an, die auch das zuvor Gelernte abprüfen. Solche Aufgaben sind zu finden unter:

• Erörterung möglicher Lösungen zu realen Problemen und (Test)Aufgaben zur kompetenzorientierten Diagnose
  (Anmerkung: die Anzahl der Aufgaben ist noch gering, wie wird aber noch erweitert.)

Zur Systematisierung nutzt die Mathe-Lehrerin oder der Mathe-Lehrer die Präsentationen der Gruppen in denen bereits die wesentlichen Begriffe der dynamischen Modellierung vorkommen. Sie festigt nun aber sowohl die folgenden Begriffe als auch Verfahren indem sie den Blick gezielt lenkt auf:

• die systemische Vernetzungen von Kranken, Geheilten und Immunen oder ... Gestorbenen und den jetzt notwendigen Beschreibungsbegriff: System,
• die Größen "Kranke" und "Geheilte" und "Immune" oder ... "Gestorbene" , die den Zustand des betrachteten Systems beschreiben und die jetzt nowendigen Beschreibungsbegriffe: Zustandsgröße (oder Bestandsgröße) sowie Anfangsgröße,
• die Größen "Infizierte" und "Geheilte" und .., die die Veränderungen der betrachteten Zustandsgrößen beschreiben und den jetzt notwendigen Beschreibungbegriff: Flussgröße (oder Veränderungsgröße),
• die Parameter (Infektionsrate, Heilungsrate etc.), die auf die Flussgrößen wirken können
• die Darstellung des gesamten dynamischen Systems in einem (Wirkungs- und) Flussdiagramm und deren Beschreibung in einem System von Modellgleichungen,
• die Zweck-Entscheidung für die Betrachtung eines ausgewählten dynamischen Zusammenhanges, also für ein Modell,
• die Notwendigkeit der Programmierung der Modellgleichungen zum Zwecke der Simulation,
• die Notwendigkeit hinreichend vieler Simulationsläufe zur Beschreibung des Systemverhaltens des gewählten Modells und
• die Nutzung des Systemverhaltens zur Interpretation des dynamischen Zusammenhanges im Kontext des realen Problems.

Auf der Grundlage der vorgetragenen Interpretationen zur dynamischen Modellierung erarbeitet die Mathe-Lehrerin oder der Mathe-Lehrer mit der Klasse dann noch die folgende Feststellung:
Dynamische Modellierungen führen zu Beschreibungen des Systemverhaltens von zweckbedingt, untersuchten Modellen und erlauben Aussagen darüber, wie eine Veränderung der "Stellschrauben" (Parameter) im System wirkt: in welcher Richtung ihre Veränderung verheerende oder günstige Auswirkungen hat. Erkenntnisse dieser Art, können dann handlungsleitend sein.

In jedem Fall sollte allen Jugendlichen klar werden, dass wir es bei einer dynamischen Modellierung mit einer diskreten Mathematik zu tun haben. Diskret deshalb, weil alle Berechnungen Schritt für Schritt erfolgen und aufeinander aufbauen. Es gibt in der Regel keine geschlossenen algebraischen Ausdrücke (Funktionsterme) für die Zustandsgrößen.
Im Leistungskurs Mathe in Klasse 11 oder 12 kann ggf. auch der Zusammenhang des Systems der Modellgleichungen mit einem Differenzengleichungssystem oder einem Differentialgleichungssystem hergestellt werden.

Bei der gezielten oder geführten, fragend-entwickelnden Blickrichtung der Jugendlichen sollten die von den Jugendlichen erstellten Flussdiagramme für alle sichtbar sein also ggf auf einer "Tapete" aufgezeichnet und in der Klasse ausgehangen sein.
Wichtig ist es festzustellen, dass die Modelle immer abhängig vom Zweck der Untersuchung sind. Es gibt also immer alternative Modelle.

Und: Zur Untersuchung dynamischer Systeme ist immer ein Computer-Werkzeug notwendig. Es gibt verschiedenartige Werkzeuge. Siehe hierzu: Werkzeuge zur Modellbildung: Beispiele zur selbstständigen Arbeit .
Das Werkzeug Excel ist aber ebenfalls geeignet, wenn die Modelle nicht zu komplex sind. Excel hat den Vorteil, dass es weit verbreitet und verfügbar ist. Siehe hierzu: Crash-Kurse: Einführung in die Nutzung von Excel.

7. und
weitere Unterrichtsstunden

Weitere Anwendungen der dynamischen Modellierung in anderen Wirklichkeits-Kontexten

Eine Übersicht über die Bündelung aller mathematischen Hilfen zur dynamischen Modellierung siehe:

• Umgang mit Komplexität: Netze und dynamische Systeme

• die Erörterung von Lösungen zur Anwendung von Methoden der qualitativen Modellierung von dynamischen Systemen
  (Das Angebot auf dieser Seite wird mit der Zeit noch ausgebaut.)
• Testaufgaben zur qualitativen Modellierung von dynamischen Systemen
  (Das Angebot auf dieser Seite wird mit der Zeit noch ausgebaut. Die Aufgaben sind auch in Klassenarbeiten nutzbar.)
• die Darstellung eines projektorientierten Unterrichts zu funktionalen und dynamischen Modellierungen am Beispiel des realen Problems "Arbeit für alle!?!"
• Projektideen mit realen Problemen
  (Zur Zeit sind es vier Projektideen, aber auch das Angebot auf dieser Seite wird ausgebaut.)