Inhaltsübersicht

• Die Welt wird global: beschleunigt komplexer und vernetzter
• Herausforderungen für die Schule
• Zusammenfassung der Begriffe und Symbole der systems dynamics
• Herausforderungen für den Mathematikunterricht
• Prozessbezogene, allgemeine Kompetenzen
• Mathematisch inhaltliche Kompetenzen

Die Welt wird global:
beschleunigt komplexer und vernetzter!

Schlüsselprobleme unserer Zeit

Quelle: u.a.: wikipedia/Schlüsselprobleme mit vielen Literaturverweisen

Herausforderungen für die Schule

Mit der Methode der „system dynamics“ (die von Jay Forrester erfunden und von seinen Schülern Donella und Dennis Meadows in „Grenzen des Wachstums, 1972“ genutzt wurde) können komplexe, dynamische Systeme im gesellschaftlichen, naturwissenschaftlichen, wirtschaftlichen und/oder technischen Kontext in vielen Fächern (also nicht nur in Mathematik) untersucht werden. Und diese Zusammenhänge sind in der Regel nicht linear!
Die Methode, in Netzen zu denken, unterstützt das globale Lernen führt über eine funktionale und dynamische sowie statistische Modellierung eines realen Problems zu Erkenntnissen, wie nachhaltig, also langfristig wirksam, vernünftig und verantwortlich gehandelt werden sollte, wie also etwa die Entwicklungskorridore (WGBU) eingehalten werden könnten. Dabei geht es nicht darum, Untergangsszenarien sondern Hoffnungsmodelle für nachfolgende Generationen zu beschreiben.

Das Erkenntnisinteresse (ob wissenschaftlich orientiert oder handlungs- und anwendungsbezogen) richtet sich insbesondere beim dynamischen Modellieren immer auf interdisziplinäre Sach- und Wirkzusammenhänge. Sie werden funktional, dynamisch und statistisch modelliert und auch numerisch (also quantitativ) simuliert, um so zu quantitativen, insbesondere aber zu qualitativ-interpretativen Verhaltensaussagen über die komplexen „Syndrome“ oder „Schlüsselprobleme“ zu gelangen. (Mehr dazu in allen Beispielen dieser Schrift; siehe aber auch die dokumentierte, ausgewählte Literatur im Literaturverzeichnis.)

Zusammenfassung der Begriffe und Symbole
der systems dynamics

Zustand_neu < --Zustand_alt + Δt · Flussgröße

Z_neu - Z_alt = Δt · F (Flussgröße)
ΔZ = Δt · F oder ΔZ / Δt = F oder dZ/dt =F

Flussgröße = Zustand_alt · Parameter (oder Konstante oder Funktion)

Herausforderungen für den Mathematikunterricht

In der Folge wird zunächst am Beispiel der Rahmenlehrpläne Mathematik für NRW verdeutlicht, wie durch die Arbeit an realen Situationen aus „Mathe Überall“ und realen Problemen aus „Modellieren mit Mathe“ die allgemeinen (prozessbezogenen) Kompetenzen durch Mathematik-Lehrkräfte vermittelt und so durch die Lernenden erworben werden können. Sodann wird ein Vorschlag unterbreitet, wie funktionale und dynamische Modellierungen in das Schulcurriculum Mathematik, als wichtige zukunftsorientierte Kompetenzen, eingebettet werden können.

Prozessbezogene oder allgemeine Kompetenzen

Diese und die folgenden Tabellen fassen die allgemeinen Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10 (Rahmenlehrpläne NRW, Seite 18 - 31) in jeweils einer zusammen.

• Die zu einem realen Problem aufbereiteten und verfügbar gemachten Sachinformationen bezogen auf eine zu lösende Aufgabe wiedergeben oder/und strukturieren oder/und analysieren können.
• Zusammenhänge verbal erläutern und beschreiben können; ... .
• Im Team Lösungswege besprechen und/oder vergleichen und/oder überprüfen und/oder bewerten und sich z.B. für ein Lösungsverfahren entscheiden können.
• Den Lösungsweg einer funktionalen oder dynamischen Modellierung unter Nutzung vereinbarter mathematischer Symbole und Begriffe im Team darstellen, diskutieren und begründen können.
• Eine Problembearbeitung mittels funktionaler oder dynamischer Modellierung so in der Klasse vortragen bzw. präsentieren können, dass alle anderen folgen können und dann die Lösung auch miteinander diskutieren können.

• Bei einer Problem“lösung“ mittels Punkt-Diagrammen (und anderen graphischen Darstellungsformen) von Zeitreihen für zukünftige Entwicklungen Schätz- oder Näherungswerte angeben und deuten können.
• Zukunftsaussagen mittels Extrapolationen (also mit Termen) überprüfen, vergleichen und bewerten (interpretieren) können.
• Die Unsicherheit einer Zukunftsaussage mittels unterschiedlicher Extrapolation (also mit unterschiedlichen Termen) miteinander besprechen und bewerten können.
• Verhaltensaussagen über dynamische Systeme mittels Simulationen (auf der Grundlage von Zustandsgleichungen und graphischen Darstellungsformen) qualitativ und/oder quantitativ formulieren und auf den Zweck des Modells hin bewerten können.
• Eine Problemlösung bzw. einen Lösungsweg verständlich für alle anderen in der Klasse vortragen bzw. präsentieren können.

Funktionale, dynamische und statistische Modellierungen sind das Kernanliegen dieser Lernumgebung.

In MMM sind alle (z.Zt. dreiunddreißig) realen Probleme (als Syndrome oder Schlüsselprobleme unserer Zeit) inhaltlich so aufbereitet, dass sie - mindestens in Teilproblemen immer noch als Realsituation oder als Sach“aufgabe“ - im Mathematikunterricht behandelbar und vermittelbar sind. Diese Art von Sachaufgabe unterscheidet sich aber wesentlich von den in Schulbüchern konstruierten. Hierzu siehe: „ Reale Probleme und nachhaltiges Lernen sowie reale Probleme und mathematische Inhalte“.

In der Lernumgebung „Mathe Überall“ (MÜ) sind für die Klassen 4 bis 7 Realsituationen in derselben Weise wie in MMM aufbereitet. In dieser Lernumgebung gibt es auch Realsituationen zur Abbildungsgeometrie.

Beispiele für dynamische, funktionale und statistische Modellierungen werden unter Beschreibung möglicher Unterrichtsverläufe
zur funktionalen Modellierung mit linearen, quadratischen und exponentiellen Funktionen sowie zur dynamischen Modellierung vorgestellt. Ihre unterrichtliche (didaktisch-methodisch-organisatorische) Einbettung wird ausführlich beschrieben.

Mit der mathematischen Modellierung realer Probleme und dabei insbesondere auch mittels dynamischer Modellierung können u.a. folgende zukunftorientierte Kompetenzen vermittelt und erworben werden. Sie sind prozessorientiert und gleichzeitig auch inhaltlich orientiert:

• Datensätze in Diagrammen darstellen und über gefundene Terme Trends berechnen sowie die Graphen interpretieren und bewerten können. Also funktionale Analysen im Kontext eines realen Problems durchführen, interpretieren und bewerten können. Ggf. Korrelationen finden und „berechnen“ sowie interpretieren und bewerten können.
• Funktionale, dynamische und statistische Modellierungen an realen Problemen zum Erkenntnisgewinn nutzen können und daraus ggf. Handlungsstrategien ableiten und beschreiben können.
• Reale Probleme mit der mathematischen Methode der "systems-dynamics" beschreiben, darstellen, modellieren, programmieren, simulieren, interpretieren und beurteilen können. Das bedeutet im Einzelnen:
• In realen Problemen wesentliche, zusammenwirkende, rückgekoppelte, zeitverzögerte oder wechselwirkende Zustandsgrößen mit Worten beschreiben, entdecken und analysieren können.
• Das Wechselwirkungsgefüge in einem Wirkungsdiagramm darstellen und qualitativ beschreiben können.
• Im Wirkungsdiagramm die Zustände, Flüsse und Parameter ausmachen und die Anfangszustände möglichst realistisch beschreiben können.
• Das Wirkungsdiagramm in ein quantitatives Flussdiagramm übertragen können.
• Rückgekoppelte, zeitverzögerte oder wechselwirkende Zustandsgrößen entdecken und analysieren können sowie ihre Zustandsgleichungen aufstellen und quantifizieren können.
• Die auf die Zustandsgrößen wirkenden Flussgrößen - und auf diese einwirkende Parameter – entdecken, analysieren und mathematisch beschreiben können sowie dazu notwendigen weitere Modellgleichungen aufstellen können.
• Zustandsgleichungen und Modellgleichungen (u.a. in Excel) programmieren können.
• Die programmierten Modelle simulieren, in ihrem Verhalten, ihrem Zweck und in ihren Grenzen beschreiben, deuten und interpretieren können.
• Mit prototypischen dynamischen Modellen (wie: unbegrenztes Wachstum, Wachstum auf beschränkter Fläche, Räuber/Beute, Nahrungsnetz, ...) experimentieren können und sie bei der Arbeit an realen Problemen anwenden können.
• Die Prototypen (oder Archetypen) dynamischer Modelle als eine abstrakte mathematische Metasprache (genauso wie Funktionstypen eine abstrakte Beschreibungssprache sind) erkennen und deuten können.
• Komplexe Systeme in solche Subsysteme zerlegen können, die bereits getrennt vom Ganzen systemisch untersucht werden können und auch so schon zu wesentlichen Einsichten führen können.
• Subsysteme wieder zu einem dynamischen „Ganzen“ zusammenbinden können sowie das Verhalten des Ganzen studieren und im Verhalten qualitativ und ggf. auch quantitativ beschreiben können.

Siehe hierzu aber auch die konkreten Kompetenzbeschreibungen zu den realen Problemen (immer die Seiten ma1x00.htm) x = 1,2, ...9

Mathematisch inhaltliche Kompetenzen

In der Folge wird für Fachkonferenzen in Schulen ein Vorschlag unterbreitet, in welcher Klassenstufe und in welcher zeitlichen Abfolge die inhaltlichen mathematischen Kompetenzen zur funktionalen und dynamischen Modellierung in das Mathematik-Curriculum einer Schule eingebettet werden können. Diese Modellierungen benötigen in den unteren Jahrgangsstufen insgesamt etwa 20 Unterrichtsstunden von den ca. 240 verfügbaren Mathematik-Unterrichtsstunden in einem Schuljahr. In den Jahrgangsstufen ab Klasse 8 sind etwa 30 Unterrichtsstunden notwendig. Wird ein umfangreiches Projekt durchgeführt, so erhöht sich die Zahl auf etwa 40 Unterrichtsstunden. Die folgenden Anregungen müssen natürlich in der einzelnen Schule noch konkretisiert werden!

Anmerkungen: Im Sommer-Quartal könnte jeweils eine geometrische Modellierungsarbeit durchgeführt werden. Zur funktionalen Modellierung siehe auch die Schrift „Funktionale Modellierung“.

Natürlich kann die zeitliche Aufeinanderfolge auch eine andere sein. Der Beginn mit funktionalen und dynamischen Modellierungen sollte aber in einer Anwendungsphase des „herkömmlichen“ Mathematikunterrichts erfolgen. Ein zweiter Durchgang kann dann auch projektorientiert ablaufen. Wichtig ist, dass schließlich beide Modellierungsarten im Zusammenhang vorkommen. Projekte haben den höchsten Freiheitsgrad für die Selbstregulierung des Lernens und zur Verwirklichung der Interessen der Lernenden. Nutzen die Jugendlichen die in MMM ausgearbeiteten möglichen Lösungen, so ist dies dann kein Schaden, wenn ihre eigenen Leistungen dabei deutlich bleiben.
In dieser Lernumgebung sind, wie zuvor beschrieben, sowohl die prozessbezogenen als auch die inhaltlichen Kompetenzbereiche augenfällig deutlich repräsentiert. Durch die Verwendung der Lernumgebung erhält eine Schule also ohne große Vorarbeit die Möglichkeit, die Realisierung der genannten Kompetenzbereiche in ihr schulinternes Curriculum zu übernehmen.

Und auch eine Fülle von ausführlichen Beschreibungen von Unterricht sind zu finden unter: