So begann es:

Interessierte Lehrerinnen und Lehrer der Sekundarstufe trafen sich zu einer Vorbereitungstagung zu "Modellieren mit Mathe": im Herbst 2000 in Rechtental.

Sie machten sich mit der Lern- und Arbeitsumgebung "Modellieren mit Mathe" vertraut, diskutierten die "neue Lernkultur" und vereinbarten einen ersten Test mit "Modellieren mit Mathe" auf regionaler Ebene. Es wurde abgesprochen "Modellieren mit Mathe"

• vom 19.3. bis 7.4.2001 in einer offline-Phase und
• vom 18.4. bis 23.4.2001 in einer online-Phase auf regionaler Ebene zu erproben.

Eine Evaluationsbesprechung fand vom 14. 5. 14.00 Uhr bis zum 15. 5. 17.00 Uhr in Rechtental statt und wurde moderiert von: Marta Herbst-Spöttl, Pädagogisches Institut Bozen und Willi van Lück, (ehemals) Landesinstitut Soest.

Hier ist der Evaluationsbericht

• Bleimschein Monika, Gewerbeoberschule Schlanders,
• Gatterer Iris, Realgymnasium Bruneck,
• Illmer Ruth, Mittelschule Aufschnaiter Bozen,
• Mitterrutzner Josef, Mittelschule Bozen,
• Mitterhofer Sybille, Realgymnasium Sterzing,
• Pinggera Günther, Handelsoberschule Bozen
• Überbacher Klaus, Realgymnasium Meran.

Fragen, Vermutungen, Behauptungen und Probleme wurden in kurzen Begriffen formuliert und unstrukturiert an Stellwänden sichtbar festgehalten. So dargestellt entstanden ergänzende Statements, die wiederum in der zuvor beschriebenen Weise festgehalten wurden. Schließlich wurden alle dokumentierten "Fragen" auf der Basis einer "Theorie der Schule" von den Moderatoren lokal geordnet, kommentiert und in einen Systemzusammenhang gebracht.

Der folgende Bericht stellt die Aussagen des lokalen Ordnens dar. Er konzentriert sich zusammenfassend und akzentuiert auf eine vermutbare Verständigung. Er beschreibt nicht den geführten Diskurs in seinem inhaltlichen Ablauf, sondern das im Gespräch gemeinsam konstruierte Wissen.

Didaktische Fragen

(Ziele, Aufbereitung, Anordnung und Auswahl der Inhalte in Unterricht und Medium)

Ausdrücklich wurde festgestellt: Das hauptsächliche Ziel im Mathematikunterricht bleibt das Lernen von Mathematik (wie sollte es auch anders sein!), aber in einer neuen Unterrichtskultur von Modellieren, Experimentieren, Systematisieren und Üben. Immanente und wichtige Nebenziele sind dabei u.a.: eine Ausweitung der Interessen, eine Steigerung der innermathematischen Methodenkompetenz und eine Erhöhung von Arbeitshaltung, Sozial-, Kommunikations- und Kooperationskompetenz sowie die Förderung des selbstorganisierten Lernens und einer umfassenden Präsentationskompetenz (wozu u.a. das Erstellen von Webseiten gehören kann). Das Programmieren (mit Pascal oder anderen Programmiersprachen) zu schulen, kann Inhalt des Informatikunterrichtes sein. Im Mathematikunterricht sollten zum experimentierenden Arbeiten Werkzeuge wie Excel, Derive oder Dynasys genutzt werden können.

"Modellieren mit Mathe" ist aber nicht nur eine Kurzbezeichnung für einen anderen Mathematikunterricht, sondern auch eine hypermediale Lern- und Arbeitsumgebung auf dem Bildungsserver blikk (blikk =: bildung, lernen, information, kommunikation, kooperation). Die Infothek ist als Hypermedium gestaltet. Sie wird ergänzt durch ein Forum und eine Galerie zum Zwecke einer überörtlichen Kommunikation und Kooperation. Die lerntheoretische Bedeutung solcher Lern- und Arbeitsumgebungen ist in (der Lern- und Arbeitsumgebung) "Schule gestalten" beschrieben.

Die Infothek soll u.a. die folgende Funktionen erfüllen oder unterstützen:

• Sie soll den Lernenden dabei helfen, reale Probleme selbständig bearbeiten und zu diesem Zweck auch mathematisch modellieren zu können.
• Sie soll für vorhersehbare sachliche Klippen und für "Mathe-Nachhilfen" Materialien zum Selbstlernen der Schülerinnen und Schüler anbieten, damit sie nicht vorschnell resignieren oder zeitlich aufwendige Hilfen von der Lehrperson anfordern.
• Sie soll den Lehrenden dabei helfen, den fachübergreifenden Anforderungen und Zielen gerecht werden und die hohen Anforderungen an ihr Coaching erfüllen zu können.

Allgemein-methodische Fragen

Der Fächer übergreifende Ansatz von "Modellieren mit Mathe" fordert die Mathe-Lehrerin und den Mathe-Lehrer als gebildeten (Mathe)Experten genau so heraus wie als kompetenten Laien.

Knüpft die Modellierungsphase des Unterrichts an die Interessen der Lernenden an, wie das mit den realen Problemen aus den unterschiedlichen Wirklichkeitsbereichen versucht wird, so ist eine arbeitsteilige Kleingruppenarbeit die notwendige Folge. Zur Einübung in das "Modellieren mit Mathe" (oder in der zur Zeit erreichten Ausbaustufe der Infothek) kann es der Lehrperson zwar helfen, zunächst alle Lernenden auf ein einziges reales Problem einzuschränken.

Ob sich die Kleingruppen selbstorganisieren oder ob sie leistungshomogen oder leistungsheterogen angeordnet werden, das hängt wesentlich vom sach- und sozialstrukturellen Entwicklungszustand der Klasse oder von den Zielen ab, die damit verfolgt werden sollen. Eine Zielperspektive könnte die "selbstorganisierte, leistungsheterogene Kleingruppe" sein.

Aber (!): fünf und mehr arbeitsteilige Kleingruppen coachen zu müssen, das fordert die Lehrenden sowohl inhaltlich als auch sozial sehr stark (bis zum Schwitzen!) heraus. Daher müssen in der Infothek für die Lernenden - sowohl zur inhaltlichen Beratung in Sache und Mathe als auch zur Einführung in das Handling von Werkzeugen - Hilfen zum Selbstlernen bereit stehen. Diese müssen aber von den Lehrenden bei ihrer Unterrichtsvorbereitung eingesehen werden. Denn dann können sie im Beratungsfall eine Kleingruppe spontan darauf aufmerksam machen und müssen keine langen Erklärungen geben. Die soziale Beratung kann das Medium nicht abnehmen, das bleibt die Sache der Moderatorinnen und Moderatoren.

Sicher wäre eine zweite Lehrperson in bestimmten Lernphasen der Kleingruppenarbeit eine wertvolle Hilfe. Und da, wo dies organisierbar ist, sollte es auch geschehen. Aber in der Regel wird es eine zweite Lehrkraft nicht geben können. Daher siehe die Empfehlung von vorher.

Sicher ist es auch wünschenswert, während der Modellierungsphase längere zusammenhängende Zeitabschnitte für die Lernarbeit zur Verfügung zu haben. In der Regel lassen sich mindestens Zwei-Stunden-Blöcke auch organisieren.

Der Zeitaufwand für projektorientiertes Arbeiten wird fast immer unterschätzt. "Die Zeit läuft einem davon!" Für die Modellierungsphasen im Herbst 2001 werden daher fünf Wochen eingeplant.

Fragen zur Kommunikation und Kooperation

(speziell auf dem Forum und in der Galerie)

Auf dem Forum und in der Galerie wird die Kommunikation auf eine technisch oder medial vermittelte eingeschränkt. Diese "Verkürzung" verlangt dringend die Einhaltung eigenständiger Regeln, die nicht automatisch per Sozialisation vermittelt werden und daher zunächst im Unterricht gelernt und geübt werden müssen. Teilziele einer umfassenden Kommunikations- und Kooperationskompetenz sowie die notwendigen Kommunikationsregeln werden in der Lern- und Arbeitsumgebung "Neue Medien - neues Lernen" dargestellt.

Auf dem Forum kann sinnvoll und nützlich über die Sache (u.a. über die gesellschaftlichen Verflechtungen) kommuniziert werden. Gerade ein internationaler Austausch von sachbezogenen Argumenten bringt die von der jeweils eigenen Kultur abhängigen Motive, Einstellungen und Werthaltungen hervor. Sie können vom jeweiligen Gegenüber in einer anderen Kultur hinterfragt und in einen anderen Zusammenhang gestellt werden. So kann eine interkulturelle Verständigung angebahnt werden, die bei der Lösung globaler Schlüssel-Probleme unserer Zeit unbedingt geboten ist. Eine so von den Lehrenden angelegte und moderierte Kommunikation lässt die Lernenden das "qualitative Mehr" gegenüber einer nur orts-bezogenen Kommunikation erkennen. Aber auch dann und nur dann, wenn ein PLUS von den Schülerinnen und Schülern wahrgenommen werden kann, werden sie die Kommunikation auf dem Forum als bedeutungsvoll erkennen und eben nicht nur als einen gewöhnlichen Chat.

Auf der Basis einer so begonnenen, Kulturen übergreifenden Kommunikation finden dann die mathematischen Modellierungen in den Kleingruppen statt. Dabei ist nun wieder interessant, ob die Lernenden nicht auch unterschiedliche Schwerpunkte in der "Mathematisierung" setzen und warum sie dies tun. Die formale Mathematik kann unterschiedlich "instrumentalisiert" werden; es gibt eben nicht nur genau eine Lösung für ein reales Problem. Diese unterschiedlichen Zugänge zur Lösung und die mathematischen Modellierungen dazu können von den Kleingruppen in der Galerie (bzw. ergänzend auf der homepage der Schule) dargestellt werden und können dann auch wieder international hinterfragt werden. Kooperieren die überörtlichen Kleingruppen schließlich miteinander und verständigen sich auf wichtige und bedeutungsvolle Lösungsansätze, so wird auch hier der qualitative Mehrwert gegenüber einer nur ortsbezogenen Lösung deutlich.

So betrachtet, wird deutlich, dass das Forum und die Galerie in der Lern- und Arbeitsumgebung Werkzeuge (Mittel) sind, mit denen solche konstruktiven Lernprozesse angeregt, unterstützt und vertieft werden können, die auf andere Weise nur schwer herstellbar sind.

Neuere Ergebnisse der Lernforschung werden ebenfalls in der Lern- und Arbeitsumgebung "Schule gestalten" dargestellt. Auf diese Ausführungen wird hier Bezug genommen und darauf aufbauend argumentiert.

Reale Probleme - viele mehr sind notwendig als zur Zeit in der Infothek der Lernumgebung ausgearbeitet sind - sollen an den Interessen der Lernenden anknüpfen. Eine solche Motivation ist immer intrinsisch (also nicht so aufgesetzt, wie dies häufig bei einer "anwendungsbezogenen" Motivationen zu Beginn einer Lehrsequenz der Fall ist) und hat zur Folge, dass die Schülerinnen und Schüler sich aus der Sache heraus selbst belasten. Ein Beobachter kann dies von Außen als eine Überlastung wahrnehmen, wenn die Schülerinnen und Schüler, ohne dazu aufgefordert worden zu sein, auch noch zu Hause daran arbeiten.

Lernprozesse bauen immer auf früheren, vorausgegangenen (in Schule, Familie und Gesellschaft) auf. Unterschiedliches Vor-Wissen (Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten) der Lernenden sowohl in der Sache als auch in der Mathe sowie auch in der Handhabung von Werkzeugen sind also die Regel und nicht eine Ausnahme. Ein gewisser Ausgleich im Vor-Wissen (u.a. in den Vorkenntnissen) kann klassenbezogen und lehrerzentriert organisiert werden. Er kann aber auch in den Kleingruppen selbstorganisiert stattfinden, wenn die Kleingruppen heterogen gebildet wurden. Dann weiß in den Kleingruppen mal der eine mehr über die Sache, mal der andere mehr über die Mathe und mal der noch andere mehr über das Handling. Jede Schülerin und jeder Schüler in der Kleingruppe kann so bei den unterschiedlichen Lernarbeiten zum "Lehrer" werden. Alle sollen aber in allen Bereichen Lernfortschritte machen, insbesondere sollen alle in der Mathe dazu gewinnen; auch die "Trittbrettfahrer". Sie dazu das oben genannte Hauptziel.

Aber (!): dieses kooperative Lernen - ein Lernen voneinander - muss in der Schule gelernt werden, es ist nicht immer qua Sozialisation gekonnt, denn es gibt immer mehr Ein-Kind-Familien. Auch Effekte von Diskriminierungen der unterschiedlichsten Art lassen sich häufig durch kooperatives Lernen verringern oder gar vermeiden.

Der Zweck der Präsentation der Kleingruppen-Arbeiten ist zunächst der, dass in der Klasse oder auch überregional über die Arbeitsergebnisse gesprochen und somit gelernt werden kann. Der Zweck ist also der, dass das während der Lernarbeiten gewonnene, in den Kleingruppen verteilte Wissen, ein gemeinsames (gesellschaftliches) Wissen wird. Ein anderer Präsentations-Zweck ist die Selbstdarstellung.

Die Mittel (Medien) der Präsentationen in der Klasse sind Vorträge, Darstellungen an der Tafel, Ausarbeitungen auf Papier sowie Aushänge an Stellwänden. Die Mittel der Präsentationen in der Galerie sind hypermediale Darstellungen u.a. hergestellt mit Powerpoint, Word, Excel oder Html-Schreibwerkzeugen. Aber die Gestaltung von Webseiten darf und sollte im Mathematikunterricht nicht zum Selbstzweck werden. Webdesign zu vermitteln, das kann eine Aufgabe im Informatikunterricht sein, der in der Gestaltungsphase sinnvoll und kontextbezogen mit dem Mathe-Unterricht kooperieren könnte.

Schülerinnen und Schüler sollten in die Lage versetzt werden, ihre hypermedialen Ausarbeitungen eigenständig in der Galerie und/oder auf der homepage der Schule darzustellen (hochzuladen). Wobei in der Galerie gewissermaßen ein Organizer für das Gesamtwerk ausgestellt wird, der mit ausführlichen Ausarbeitungen auf der homepage der Schule verlinkt ist.

Einschränkungen: In den nächsten Jahren wird es noch nicht an allen Schulen eine homepage geben. Diese Schulen müssen die Galerie für die Darstellung des Gesamtwerkes nutzen. Weitere technische Einschränkungen bestehen zur Zeit noch darin, dass es in einzelnen Schulen noch nicht genügend Rechner-Arbeitsplätze mit Internetanschluss gibt. Im Extremfall gibt es in der Schule sogar nur einen einzigen Internetanschluss im Lehrerzimmer oder in der Bibliothek. Im letzteren Fall kann man zusammen mit den Eltern der Jugendlichen überlegen, ob nicht auch Privatanschlüsse mitgenutzt werden können. Dann könnte z.B. das Hochladen nach Hause delegiert werden.

Anregungen und Hinweise zu einer angepassten Leistungsbewertung befinden sich in dieser Lern- und Arbeitsumgebung. Sie werden hier als bekannt vorausgesetzt.

Im Logbuch sollten die inhaltlichen (bezogen auf Sache und Mathe) und selbstorganisatorischen Lernprozesse für eine Veröffentlichung dokumentiert werden. Außerdem sollten in einem zweiten Teil, der nicht veröffentlicht werden muss, auch Lernprozesse zur Steigerung von Sozial-, Kommunikations- und Kooperationskompetenz beschrieben werden. Beide Dokumentationen zusammen sollen die Kompetenz zur Selbstbewertung bei den Schülerinnen und Schülern erhöhen. Das gelingt aber nur dann, wenn solche Selbstbewertungsprozesse auch reflektiert werden, wenn also die Selbstbewertung (etwa zur Kommunikationsfähigkeit) selbst ein Lernziel im Unterricht wird. Insbesondere gilt dies für so genannte Trittbrettfahrer (die nur von anderen abgeschrieben haben). Sie sollten selbstreflexiv zur Kenntnis nehmen, dass ihre Sachleistung gegen Null tendiert.

Aber (!): Verhaltensänderungen sind schwerer erlernbar als sachgebundene Kenntnisse und Fertigkeiten. Verhaltenänderungen betreffen immer auch Einstellungen und Werthaltungen, die während der frühen Sozialisation relativ stabil verankert wurden. Verhaltensänderungen brauchen also mehrere Lern-Anläufe, also viel Zeit und Geduld.

In der Regel stehen die Eltern einem "Computer-Einsatz" beim fachlichen Lernen positiv gegenüber. Es gibt aber wohl auch gegenteilige Einzelfälle. Daher sollten in jedem Fall die Eltern über das Warum, das Wie und das Wann des PC-Einsatzes im Mathematikunterricht informiert werden. Eine solche Information ist dann erst recht notwendig, wenn etwa private Internetanschlüsse mit genutzt werden sollen oder schulische Dokumentationsarbeiten auch nach Hause verlegt werden. Ein Elternabend - zu Beginn einer ersten Modellierungsphase - bietet sich als Gesprächsforum für einen Gedankenaustausch an und ist zu empfehlen.

Die gleichzeitige Teilnahme einer Klasse an mehreren Projekten ist zur Zeit nicht zu empfehlen. Sie belastet Lehrende wie Lernende, die diese Form der Lern-Arbeit selbst noch lernen müssen, über Gebühr.

Zu empfehlen ist eine Projektplanung für die einzelnen Jahrgänge (Klassenstufen) im Schulprogramm der Schule. So können die Projektzeiten in den unterschiedlichen Fächern so festgelegt werden, dass sie sich möglichst nicht überschneiden. So können die Projektzeiten im Februar/März und Oktober/November für internationale Projekte reserviert werden. Denn internationale online-Kommunikations-Projekte können nur bei Zeitgleichheit in den unterschiedlichen Ländern gelingen. Und: außerdem können die Schulen dann auf internationaler Ebene auf Dauer selbstorganisiert planen und sind dann nicht mehr davon abhängig, dass es eine Institution gibt, die eine Überorganisation vornimmt und betreut.

Eine Projektplanung für die einzelnen Jahrgänge (Klassenstufen) im Schulprogramm der Schule hat neben den genannten Gründen auch den Vorteil, dass eine Kooperation zwischen den Lehrenden an derselben Schule besser abgesprochen werden kann.

Online-Projekte verlangen ein Überdenken der PC-Ausstattungen in den Schulen. Computerräume eignen sich für den Informatikunterricht aber nicht so sehr für die arbeitsteilige Kleingruppenarbeit in der Modellierungsphase im Mathematikunterricht. In dieser Phase sollten die Kleingruppen zu der Zeit einen Rechner nutzen können, zu der sie ihn auch gebrauchen. Da diese Zeiten aber (in der Regel) von Kleingruppe zu Kleingruppe unterschiedlich sind, ist eine für alle zeitgleiche Nutzung des Computerraumes nicht nützlich. Gäbe es dagegen (oder zusätzlich) in der Schule mehrere kleine Räume mit einem/zwei Rechnerplätzen mit Internetanschluss, wäre eine flexiblere Nutzung möglich. In der Zwischenzeit hilft es aber schon, wenn die Computerräume am Nachmittag genutzt werden können.

Schülerinnen und Schülern kopieren recht gerne aus dem Internet Bilder und Texte, die dann von ihnen in hypermedialen Ausarbeitungen genutzt werden und sodann auf der homepage der Schule oder in der Galerie dieser Lernumgebung veröffentlich werden. Diese Missachtung des Copyrights wird in kurzer Zeit juristische Folgen haben.

Für die Inhalte auf der homepage einer Schule ist der Schulleiter verantwortlich. Er kann diese Verantwortung nicht delegieren. Folge: aus rechtlichen Gründen sind Bilder und Texte selbst herzustellen oder zu verfassen!! (Nebenbei: ein Lernen in Form von Kopieren und Einfügen hat kaum einen Lerneffekt.)

Werden Bilder von Schülerinnen und Schülern im Internet veröffentlicht, so müssen die Eltern vorher (schriftlich) zustimmen.

Das sind zwei Rechts-Fälle, gegen die zur Zeit immer wieder verstoßen wird. Daher werden sie hier aufgeführt. Ansonsten wird auf Veröffentlichungen in Zeitschriften oder Bücher verwiesen.